Question

對(duì)于數(shù)列，定義“變換”：將數(shù)列變換成數(shù)列，其中，且.這種“變換”記作.繼續(xù)對(duì)數(shù)列進(jìn)行“變換”，得到數(shù)列，依此類推，當(dāng)?shù)玫降臄?shù)列各項(xiàng)均為時(shí)變換結(jié)束．
（Ⅰ）試問(wèn)經(jīng)過(guò)不斷的“變換”能否結(jié)束？若能，請(qǐng)依次寫出經(jīng)過(guò)“變換”得到的各數(shù)列；若不能，說(shuō)明理由；
（Ⅱ）設(shè)，．若，且的各項(xiàng)之和為．
（ⅰ）求，；
（ⅱ）若數(shù)列再經(jīng)過(guò)次“變換”得到的數(shù)列各項(xiàng)之和最小，求的最小值，并說(shuō)明理由．

Answer 1

（Ⅰ）解：數(shù)列不能結(jié)束，各數(shù)列依次為；；；；；…．
以下重復(fù)出現(xiàn)，所以不會(huì)出現(xiàn)所有項(xiàng)均為的情形．            ………3分
（Ⅱ）解：（�。┮�?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823211138353309.png" style="vertical-align:middle;" />的各項(xiàng)之和為，且，所以為的最大項(xiàng)，
所以最大，即，或． …………5分
當(dāng)時(shí)，可得
由，得，即，故．…7分
當(dāng)時(shí)，同理可得，．    ………8分         
（ⅱ）方法一：由，則經(jīng)過(guò)次“變換”得到的數(shù)列分別為：；；；；；．
由此可見(jiàn)，經(jīng)過(guò)次“變換”后得到的數(shù)列也是形如“”的數(shù)列，與數(shù)列“結(jié)構(gòu)”完全相同，但最大項(xiàng)減少12．
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823211139897734.png" style="vertical-align:middle;" />，
所以，數(shù)列經(jīng)過(guò)次“變換”后得到的數(shù)列為．
接下來(lái)經(jīng)過(guò)“變換”后得到的數(shù)列分別為：；；；；；
；，……
從以上分析可知，以后重復(fù)出現(xiàn)，所以數(shù)列各項(xiàng)和不會(huì)更小．
所以經(jīng)過(guò)次“變換”得到的數(shù)列各項(xiàng)和最小，的最小值為．
……………13分
方法二：若一個(gè)數(shù)列有三項(xiàng)，且最小項(xiàng)為，較大兩項(xiàng)相差，則稱此數(shù)列與數(shù)列 “結(jié)構(gòu)相同”．
若數(shù)列的三項(xiàng)為，則無(wú)論其順序如何，經(jīng)過(guò)“變換”得到的數(shù)列的三項(xiàng)為(不考慮順序) ．
所以與結(jié)構(gòu)相同的數(shù)列經(jīng)過(guò)“變換”得到的數(shù)列也與結(jié)構(gòu)相同，除外其余各項(xiàng)減少，各項(xiàng)和減少．
因此，數(shù)列經(jīng)過(guò)次“變換”一定得到各項(xiàng)為 (不考慮順序)的數(shù)列．
通過(guò)列舉，不難發(fā)現(xiàn)各項(xiàng)為的數(shù)列，無(wú)論順序如何，經(jīng)過(guò)“變換”得到的數(shù)列會(huì)重復(fù)出現(xiàn)，各項(xiàng)和不再減少．
所以，至少通過(guò)次“變換”，得到的數(shù)列各項(xiàng)和最小，故的最小值為．
……………13分

略