Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=lnx﹣ ax2+bx+1的圖象在x=1處的切線l過點(diǎn)（ ， ）．
（1）若函數(shù)g（x）=f（x）﹣（a﹣1）x（a＞0），求g（x）最大值（用a表示）；
（2）若a=﹣4，f（x1）+f（x2）+x1+x2+3x1x2=2，證明：x1+x2≥ ．

Answer 1

【答案】
（1）解：函數(shù)f（x）=lnx﹣ ax2+bx+1的導(dǎo)數(shù)為：

f′（x）= ﹣ax+b，

可得圖象在x=1處的切線l的斜率為k=1﹣a+b，

切點(diǎn)為（1，1+b﹣ a），

由切線經(jīng)過點(diǎn)（ ， ），

可得1﹣a+b= ，

化簡(jiǎn)可得，b=0，

則f（x）=lnx﹣ ax2+1，g（x）=lnx﹣ ax2+1﹣（a﹣1）x（x＞0，a＞0），

g′（x）= ﹣ax﹣（a﹣1）=﹣ ，

當(dāng)0＜x＜ 時(shí)，g′（x）＞0，g（x）遞增；當(dāng)x＞ 時(shí)，g′（x）＜0，g（x）遞減．

可得g（x）max=g（ ）=﹣lna﹣ +1﹣1+ = ﹣lna；

（2）證明：a=﹣4時(shí)，f（x）=lnx+2x2+1，

f（x1）+f（x2）+x1+x2+3x1x2=2，

可得lnx1+2x12+1+lnx2+2x22+1+x1+x2+3x1x2=2，

化為2（x12+x22+2x1x2）+（x1+x2）=x1x2﹣ln（x1x2），

即有2（x1+x2）2+（x1+x2）=x1x2﹣ln（x1x2），

令t=x1x2，t＞0，設(shè)h（t）=t﹣lnt，

h′（t）=1﹣ ，當(dāng)t＞1時(shí)，h′（t）＞0，h（t）遞增；當(dāng)0＜t＜1時(shí)，h′（t）＜0，h（t）遞減．

即有h（t）在t=1取得最小值1，

則2（x1+x2）2+（x1+x2）≥1，

可得（x1+x2+1）（2x1+2x2﹣1）≥0，

則2x1+2x2﹣1≥0，

可得x1+x2≥ ．

【解析】（1）對(duì)f（x）進(jìn)行求導(dǎo)，結(jié)合切線方程得到b=0，對(duì)g（x）求導(dǎo)，求出g（x）的最大值，（2）當(dāng)a=-4，得到f（x）的解析式，由條件化簡(jiǎn)得到2（x12+x22+2x1x2）+（x1+x2）=x1x2﹣ln（x1x2），令t=x1x2，t＞0，設(shè)h（t）=t﹣lnt，求導(dǎo)得到h（t）在t=1取得最小值，即可得到結(jié)論.
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減；求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數(shù)在內(nèi)的極值；（2）將函數(shù)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值，比較，其中最大的是一個(gè)最大值，最小的是最小值才能正確解答此題．