【題目】直線(xiàn)y=x+a與拋物線(xiàn)y2=5ax（a＞0）相交于A，B兩點(diǎn)，C（0，2a），給出下列4個(gè)命題：
p1：△ABC的重心在定直線(xiàn)7x﹣3y=0上，p2：|AB| 的最大值為2 ；
p3：△ABC的重心在定直線(xiàn) 3x﹣7y=0上；p4：|AB| 的最大值為2 ．
其中的真命題為（　�。�
A.p1 ， p2
B.p1 ， p4
C.p2 ， p3
D.p3 ， p4

【答案】A
【解析】解：如圖，

聯(lián)立 ，得x2﹣3ax+a2=0．

△=9a2﹣4a2=5a2＞0．

設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），

則x1+x2=3a， ．

∴y1+y2=x1+x2+2a=5a，

∵C（0，2a），由重心坐標(biāo)公式可得：△ABC的重心坐標(biāo)為（ ， ）=（a， ）．

把點(diǎn)（a， ）代入7x﹣3y=0成立，代入 3x﹣7y=0不成立，

∴命題p1是真命題，p3是假命題；

|AB|= = ．

∴|AB| = ，

令g（a）=﹣a3+3a2（a＞0），則g′（a）=﹣3a2+6a=﹣3a（a﹣2），

當(dāng)a∈（0，2）時(shí)，g′（a）＞0，當(dāng)a∈（2，+∞）時(shí)，g′（a）＜0，

∴g（a）在（0，2）上為增函數(shù)，在（2，+∞）上為減函數(shù)，

則g（a）max=g（2）=4，

∴|AB| 的最大值為 ，

∴命題p2是真命題，p4是假命題．

∴真命題是p1，p2 ．

所以答案是：A．

練習(xí)冊(cè)系列答案
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（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）過(guò)D作直線(xiàn)l平行于AC．若直線(xiàn)l′平行于BD，且與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)M．N，與直線(xiàn)l交于點(diǎn)P．
⑴證明：直線(xiàn)l與橢圓E有且只有一個(gè)公共點(diǎn)；
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（1）若從10名購(gòu)物者中隨機(jī)抽取2名，其中男、女各一名，求至少1名傾向于選擇實(shí)體店的概率；
（2）若從這10名購(gòu)物者中隨機(jī)抽取3名，設(shè)X表示抽到傾向于選擇網(wǎng)購(gòu)的男性購(gòu)物者的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

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