【題目】已知a≤8.函數(shù)f(x)=a1nx﹣x2+5,g(x)=2x+
(1)若f(x)的極大值為5,求a的值
(2)若關(guān)于x的不等式f(x)≤g(x)在區(qū)間[1,+∞)上恒成立,求a的取值范圍,(1n2≈0.7)
【答案】(1)a=2e;(2)
【解析】
(1)求導(dǎo)后分的不同取值范圍求的最值,進(jìn)而分析函數(shù)的極值再代入求解即可.
(2)構(gòu)造函數(shù)再求導(dǎo)分析單調(diào)性,分情況討論最大值再根據(jù)最大值求關(guān)于參數(shù)a的取值范圍即可.
(1)函數(shù)f(x)=a1nx﹣x2+5,函數(shù)的定義域?yàn)?/span>{x|x>0},
函數(shù)的f(x)的導(dǎo)數(shù)f′(x)=﹣2x=,
當(dāng)a≤0,則f′(x)<0,此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減無(wú)極大值,∴a>0,
∴f(x)在(0,)上單調(diào)遞增,在(,+∞)上函數(shù)單調(diào)遞減,
函數(shù)f(x)的極大值為:f()=5,解得:a=2e;
(2)關(guān)于x的不等式f(x)≤g(x)在區(qū)間[1,+∞)上恒成立,
即:a1nx﹣x2+5﹣2x﹣≤0在區(qū)間[1,+∞)上恒成立,
令為h(x)=a1nx﹣x2+5﹣2x﹣,x∈[1,+∞),
則有:h′(x)=﹣2x﹣2+=﹣,
①當(dāng)a≤2時(shí),h′(x)≤0,h(x)在區(qū)間[1,+∞)上單調(diào)遞減,
h(x)最大值=h(1)=2﹣a≤0,即:a≥2,∴a=2;
②當(dāng)a>2時(shí),h(x)在區(qū)間[1,)上單調(diào)遞增,在區(qū)間(,+∞)上單調(diào)遞減,
h(x)最大值=h()=1n﹣+5﹣2≤0,
令=t∈(1,4],即:t1nt﹣t+5﹣4≤0,令u(t)=t1nt﹣t+5﹣4,u′(t)=1nt﹣,
由u(t)在(1,4]上單調(diào)遞增,且u′(1)<0,u′(4)>0,
知存在t0∈(1,4]使得且u′(t0)=0,
u(t)在區(qū)間(1,t0)上單調(diào)遞減,在區(qū)間(t0,4]上單調(diào)遞增,
又且u(1)=0,u(4)=41n4﹣7=8ln2﹣7<0,
∴t1nt﹣t+5﹣4≤0,在t∈(1,4]上恒成立,∵已知a≤8,故:2<a≤8,
即a的取值范圍是:a∈
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓C:.
(1)求橢圓C的離心率;
(2)設(shè)分別為橢圓C的左右頂點(diǎn),點(diǎn)P在橢圓C上,直線AP,BP分別與直線相交于點(diǎn)M,N.當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí),以M,N為直徑的圓是否經(jīng)過(guò)軸上的定點(diǎn)?試證明你的結(jié)論.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】經(jīng)過(guò)多年的運(yùn)作,“雙十一”搶購(gòu)活動(dòng)已經(jīng)演變成為整個(gè)電商行業(yè)的大型集體促銷盛宴.為迎接2014年“雙十一”網(wǎng)購(gòu)狂歡節(jié),某廠家擬投入適當(dāng)?shù)膹V告費(fèi),對(duì)網(wǎng)上所售產(chǎn)品進(jìn)行促銷.經(jīng)調(diào)查測(cè)算,該促銷產(chǎn)品在“雙十一”的銷售量p萬(wàn)件與促銷費(fèi)用x萬(wàn)元滿足(其中,a為正常數(shù)).已知生產(chǎn)該產(chǎn)品還需投入成本萬(wàn)元(不含促銷費(fèi)用),產(chǎn)品的銷售價(jià)格定為
元/件,假定廠家的生產(chǎn)能力完全能滿足市場(chǎng)的銷售需求.
(1)將該產(chǎn)品的利潤(rùn)y萬(wàn)元表示為促銷費(fèi)用x萬(wàn)元的函數(shù);
(2)促銷費(fèi)用投入多少萬(wàn)元時(shí),廠家的利潤(rùn)最大?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在直角坐標(biāo)系中,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為.
(1)若,求曲線與的交點(diǎn)坐標(biāo);
(2)過(guò)曲線上任一點(diǎn)作與夾角為30°的直線,交于點(diǎn),且的最大值為,求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】 已知函數(shù)f(x)=|x+a|+|x-2|.
(1)當(dāng)a=-3時(shí),求不等式f(x)≥3的解集;
(2)若f(x)≤|x-4|的解集包含[1,2],求a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在直角坐標(biāo)系xOy中,直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù),a∈R),以O為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線C的極坐標(biāo)方程為ρsin2θ=2cosθ
(1)求直線l的普通方程及曲線C的直角坐標(biāo)方程;
(2)若直線l過(guò)點(diǎn)P(1,1)且與曲線C交于AB兩點(diǎn),求|PA|+|PB|
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】【2018河南豫南九校高三下學(xué)期第一次聯(lián)考】設(shè)函數(shù).
(I)當(dāng)時(shí), 恒成立,求的范圍;
(II)若在處的切線為,且方程恰有兩解,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知為常數(shù), ,函數(shù), (其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).
(1)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)作曲線的切線,設(shè)切點(diǎn)為,求證: ;
(2)令,若函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù),求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,等腰梯形中,,,E為CD中點(diǎn),將沿AE折到的位置.
(1)證明:;
(2)當(dāng)折疊過(guò)程中所得四棱錐體積取最大值時(shí),求直線與平面所成角的正弦值.
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