Question

【題目】已知橢圓過點，且離心率．

（Ⅰ）求橢圓的方程．

（Ⅱ）若橢圓上存在點、關于直線對稱，求的所有取值構成的集合，并證明對于， 的中點恒在一條定直線上．

Answer 1

【答案】（）．（）見解析

【解析】試題分析：（Ⅰ）因為 橢圓過點，所以．因為， 所以．所以橢圓的方程為；（Ⅱ）依題意得．因為 橢圓上存在點關于直線對稱，所以 直線與直線垂直，且線段的中點在直線上．

設直線的方程為．由得，由得①， 的中點坐標為所以，所以代入①得或，所以或

因為，所以 對于，線段中點的縱坐標恒為，即線段的中點總在直線上．

試題解析：（Ⅰ）因為 橢圓過點，

所以． 1分

因為，

所以．

所以 橢圓的方程為3分

（Ⅱ）方法一：

依題意得．

因為 橢圓上存在點關于直線對稱，

所以 直線與直線垂直，且線段的中點在直線上．

設直線的方程為．

由得． 5分

由，

得．（*）

因為， 7分

所以的中點坐標為．

又線段的中點在直線上，

所以．

所以． 9分

代入（*），得或．

所以或． 11分

因為，

所以 對于，線段中點的縱坐標恒為，即線段的中點總在直線上．

13分

方法二：

因為 點在直線上，且關于直線對稱，

所以，且．

設（），的中點為．

則． 6分

又在橢圓上，

所以．

所以．

化簡，得．

所以． 9分

又因為的中點在直線上，

所以．

所以．

由可得．

所以，或，即，或．

所以或．． 12分

所以 對于，線段中點的縱坐標恒為，即線段的中點總在直線上．

13分