在數(shù)列{an}中，已知a1=-1，an+1=2an-n+1，（n=1，2，3，…）．
（1）證明數(shù)列{an-n}是等比數(shù)列；
（2）數(shù)學(xué)公式為數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和，求Sn的表達(dá)式．

解：∵an+1=2an-n+1，∴an+1-（n+1）=2（an-n）
∴=2，a1-1=-2
∴數(shù)列{an-n}是以-2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列．（6分）
（2）由（1）得：an-n=（-2）×2n-1=-2n，∴an=n-2n，bn=
∴Sn=b1+b2+…+bn==
令Tn=，則Tn=，

兩式相減得：Tn==

∴Tn=，即Sn═-n （12分）
分析：（I）此證明題應(yīng)從結(jié)論中找方法，要證明數(shù)列{an-n}是等比數(shù)列，將題設(shè)中的條件an+1=2an-n+1變形為an+1-（n+1）=2（an-n）即可；
（II）由（I）結(jié)論可求出bn，由通項(xiàng)公式的形式可以看出，本題宜先用分組求和的技巧，然后對(duì)其一部分用錯(cuò)位減法求和．最后將結(jié)果綜合起來．
點(diǎn)評(píng)：本題是一道綜合性較強(qiáng)的題，要觀察分析，判斷，選擇合適的方法，如（I）的求解要從證明的結(jié)論中找變形方向；（II）中的求解要邊變形邊觀察，化整為零，分塊求解，這對(duì)答題者分析判斷的能力要求較高
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在數(shù)列{an}中，已知a1=
1
4
，
an+1
an
=
1
4
，bn+2=3log 
1
4
an（n∈N*）．
（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）求證：數(shù)列{bn}是等差數(shù)列；
（Ⅲ）設(shè)cn=
3
bn•bn+1
，Sn是數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和，求使Sn＜
m
20
對(duì)所有n∈N*都成立的最小正整數(shù)m．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在數(shù)列{an}中，已知a1=1，an+1=
an1+2an
(n∈N+)．
（1）求a2，a3，a4，并由此猜想數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an的表達(dá)式；
（2）用適當(dāng)?shù)姆椒ㄗC明你的猜想．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在數(shù)列{an}中，已知a1=1，a2=2，且an+2等于an•an+1的個(gè)位數(shù)（n∈N*），若數(shù)列{an}的前k項(xiàng)和為2011，則正整數(shù)k之值為（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•淮南二模）在數(shù)列{an}中，已知an≥1，a1=1，且an+1-an=
2
an+1+an-1
，n∈N+．
（1）記bn=（an-
1
2
）2，n∈N+，求證：數(shù)列{bn}是等差數(shù)列；
（2）求{an}的通項(xiàng)公式；
（3）對(duì)?k∈N+，是否總?m∈N+使得an=k？若存在，求出m的值，若不存在，請(qǐng)說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在數(shù)列{an}中，已知a1=
7
2
，an=3an-1+3n-1（n≥2，n∈N*）．
（Ⅰ）計(jì)算a2，a3；
（Ⅱ）求證：{
an-
1
2
3n
}是等差數(shù)列；
（Ⅲ）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an及其前n項(xiàng)和Sn．

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