Question

直三棱柱A₁B₁C₁-ABC的三視圖如圖所示，D、E分別為棱CC₁和B₁C₁的中點(diǎn)．
（1）求異面直線A₁D與AB所成角的余弦值；
（2）求點(diǎn)C到平面A₁BD的距離；
（3）在AC上是否存在一點(diǎn)F，使EF⊥平面A₁BD，若存在確定其位置，若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出兩條直線所在的向量，進(jìn)而利用向量的有關(guān)運(yùn)算求出空間向量的夾角，再轉(zhuǎn)化為兩條異面直線的夾角．
（2）求出平面的法向量以及平面的一條斜線所在的向量，再求出斜線所在的向量在法向量上射影，進(jìn)而得到答案．
（3）設(shè)F（x，0，0），由E（0，1，2），可求出向量 ，則 為平面A₁BD的一個法向量，由此構(gòu)造方程，求出x值，即可得到F點(diǎn)的位置．
解答：解：（1）如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則B（2，0，0），D（0，0，1），A₁（0，2，2），A（0，2，0），
所以，，
所以cos＜A₁D，AB＞=||=．

所以異面直線A₁D與AB所成角的余弦值為．
（2）由（1）可得：，
設(shè)平面A₁DB的法向量為，
則
所以可得：，
又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131103172934710481080/SYS201311031729347104810018_DA/11.png">，
所以cos＜n₁，＞==，
所以d=．
所以點(diǎn)C到平面A₁BD的距離．
（3）存在F為AC的中點(diǎn)，使EF⊥平面A₁BD
設(shè)F（0，y，0），由E（1，0，2）得
若EF⊥平面A₁BD，則由得y=1，
∴F為AC的中點(diǎn)
∴存在F為AC的中點(diǎn)，使EF⊥平面A₁BD
點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是利用空間向量夾角空間夾角與空間距離等問題，并且考查由三視圖還原實(shí)物圖，以及基本運(yùn)算能力．