Question

如圖，在直三棱柱A₁B₁C₁-ABC中，∠BAC=

π

2

，AB=AC=AA₁=2，點(diǎn)G與E分別為線段A₁B₁和C₁C的中點(diǎn)，點(diǎn)D與F分別為線段AC和AB上的動(dòng)點(diǎn)．若GD⊥EF，則線段DF長度的最小值是

2 5

5

．

Answer 1

分析：建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)出F、D的坐標(biāo)，求出向量

DG

，

EF

，利用GD⊥EF求得關(guān)系式，寫出DF的表達(dá)式，然后利用二次函數(shù)求最值．

解答：解：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則A（0，0，0），E（0，2，1），
G（1，0，2），F(xiàn)（x，0，0），D（0，y，0）

DG

=（1，-y，2），

EF

=（x，-2，-1）
由于GD⊥EF，
所以   x+2y-2=0
∴|DF|=

x2+y2

=

5y2-8y+4

=

5(y- 4 5 )2+ 4 5

∴當(dāng)y=

4

5

時(shí)，線段DF長度的最小值是 

2 5

5

．
故答案為：

2 5

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查棱柱的結(jié)構(gòu)特征，考查空間想象能力，空間直角坐標(biāo)系，數(shù)量積等知識(shí)，是中檔題．解決問題的關(guān)鍵在于建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，把問題轉(zhuǎn)化為利用二此函數(shù)知識(shí)解決．