【題目】如圖所示的“8”字形曲線是由兩個(gè)關(guān)于軸對(duì)稱的半圓和一個(gè)雙曲線的一部分組成的圖形,其中上半個(gè)圓所在圓方程是,雙曲線的左、右頂點(diǎn)、是該圓與軸的交點(diǎn),雙曲線與半圓相交于與軸平行的直徑的兩端點(diǎn).
(1)試求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)記雙曲線的左、右焦點(diǎn)為、,試在“8”字形曲線上求點(diǎn),使得是直角.
【答案】(1)=1,(2)(),(﹣),(﹣,﹣),(,﹣).
【解析】
試題 由于上半個(gè)圓所在圓方程是,令,求出,得雙曲線的頂點(diǎn),可知,又雙曲線與半圓相交于與軸平行的直徑的兩端點(diǎn),令,雙曲線過點(diǎn),滿足雙曲線方程,待定系數(shù)法求出雙曲線方程;第二步由于點(diǎn)滿足是直角,則點(diǎn)在以為圓心半徑為的圓上,滿足,把圓的方程與雙曲線方程聯(lián)立解出交點(diǎn)坐標(biāo),由于與上下兩圓弧無(wú)交點(diǎn),所以交點(diǎn)只有求出的四個(gè) .
試題解析:(1)設(shè)雙曲線的方程為,在已知圓的方程中,令,
得,即,則雙曲線的左、右頂點(diǎn)為、,于是,令,可得,解得,即雙曲線過點(diǎn),則所以,
所以所求雙曲線方程為.
(2)由(1)得雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn),,當(dāng)時(shí),設(shè)點(diǎn),
①若點(diǎn)在雙曲線上,得,由,有則,
由,解得所以
②若點(diǎn)在上半圓上,則,由,得,
由無(wú)解.
綜上,滿足條件的點(diǎn)有4個(gè),分別為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓的右頂點(diǎn)為,上頂點(diǎn)為,右焦點(diǎn)為.連接并延長(zhǎng)與橢圓相交于點(diǎn),且
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)設(shè)經(jīng)過點(diǎn)的直線與橢圓相交于不同的兩點(diǎn),直線分別與直線相交于點(diǎn),點(diǎn).若的面積是的面積的2倍,求直線的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知點(diǎn)在雙曲線(,)上,且雙曲線的一條漸近線的方程是.
(1)求雙曲線的方程;
(2)若過點(diǎn)且斜率為的直線與雙曲線有兩個(gè)不同的交點(diǎn),求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(3)設(shè)(2)中直線與雙曲線交于兩個(gè)不同的點(diǎn),若以線段為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn),求實(shí)數(shù)的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(Ⅰ)若函數(shù)在時(shí)取得極值,求實(shí)數(shù)的值;
(Ⅱ)當(dāng)時(shí),求零點(diǎn)的個(gè)數(shù).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在直角坐標(biāo)系中,傾斜角為的直線經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn),曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).以點(diǎn)為極點(diǎn),軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為.
(1)求與的極坐標(biāo)方程;
(2)設(shè)與的交點(diǎn)為、,與的交點(diǎn)為、,且,求值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖像如圖所示,試做如下操作:把x軸上的區(qū)間等分成n個(gè)小區(qū)間,在每一個(gè)小區(qū)間上作一個(gè)小矩形,使矩形的右端點(diǎn)落在函數(shù)的圖像上.若用表示第k個(gè)矩形的面積,表示這n個(gè)叫矩形的面積總和.
(1)求的表達(dá)式;
(2)利用數(shù)學(xué)歸納法證明,并求出的表達(dá)式
(3)求的值,并說明的幾何意義.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知拋物線的焦點(diǎn)為,為軸上的點(diǎn).
(1)過點(diǎn)作直線與相切,求切線的方程;
(2)如果存在過點(diǎn)的直線與拋物線交于,兩點(diǎn),且直線與的傾斜角互補(bǔ),求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在四棱錐中,底面是邊長(zhǎng)為2的正方形,底面,四棱錐的體積,M是的中點(diǎn).
(1)求異面直線與所成角的余弦值;
(2)求點(diǎn)B到平面的距離.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為,長(zhǎng)軸長(zhǎng)為.
(Ⅰ)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及離心率;
(Ⅱ)過點(diǎn)的直線與橢圓交于,兩點(diǎn),若點(diǎn)滿足,求證:由點(diǎn) 構(gòu)成的曲線關(guān)于直線對(duì)稱.
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