【題目】已知定義域為的函數(shù)是奇函數(shù).
(1)求的值;
(2)證明: 為上的增函數(shù);
(3)若對任意的,不等式恒成立,求實數(shù)的取值范圍.
【答案】(1) ; (2)見解析;(3).
【解析】試題分析:(1)根據(jù)奇函數(shù)的定義,取x=1,得f(1)+f(﹣1)=0,解之得a=2,再經(jīng)過檢驗可得當a=2時,f(x)+f(﹣x)=0對x∈R恒成立,所以f(x)是奇函數(shù);(2)令t=2x,得,再用單調(diào)性的定義,證出當x1∈R,x2∈R且x1<x2時,y1﹣y2=,討論可得y1<y2,所以f(x)在R上是增函數(shù);(3)因為f(x)是奇函數(shù),并且在R上是增函數(shù),所以原不等式對任意的x∈R恒成立,即mx2+1>mx﹣1對任意的x∈R恒成立,化簡整理得關(guān)于m的一元二次不等式,最后經(jīng)過分類討論,可得實數(shù)m的取值范圍為0≤m<8.
試題解析:
(1)∵函數(shù)是奇函數(shù),
∴,
可得,解之得: ,
檢驗: 時, ,
∴
∴對恒成立,即是奇函數(shù).
∴
(2)證明:令,則
設(shè), ,且,∵在上是增函數(shù),∴,
當時,∴ , , ,∴,可得在上是增函數(shù).
(3)∵是奇函數(shù),
∴不等式等價于
∵在上是增函數(shù),
∴對任意的,原不等式恒成立,即對任意恒成立,
化簡整理得: 對任意恒成立,
(1)當時,不等式即為恒成立,符合題意;
(2)當時,有,即,
綜上所述:可得實數(shù)的取值范圍為.
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【題目】已知函數(shù)
(Ⅰ)當時,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)當,時,證明:(其中為自然對數(shù)的底數(shù)).
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【題目】設(shè)命題是的必要而不充分條件;
設(shè)命題實數(shù)滿足方程表示雙曲線.
(1)若“”為真命題,求實數(shù)的取值范圍;
(2)若“”為假命題,“”為真命題,求實數(shù)的取值范圍.
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【題目】為了監(jiān)控某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過程,檢驗員每天從該生產(chǎn)線上隨機抽取16個零件,并測量其尺寸(單位:cm).根據(jù)長期生產(chǎn)經(jīng)驗,可以認為這條生產(chǎn)線正常狀態(tài)下生產(chǎn)的零件的尺寸服從正態(tài)分布.
(1)假設(shè)生產(chǎn)狀態(tài)正常,記X表示一天內(nèi)抽取的16個零件中其尺寸在
之外的零件數(shù),求;
(2)一天內(nèi)抽檢零件中,如果出現(xiàn)了尺寸在之外的零件,就認為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異常情況,需對當天的生產(chǎn)過程進行檢查.
下面是檢驗員在一天內(nèi)抽取的16個零件的尺寸:
9.95 | 10.12 | 9.96 | 9.96 | 10.01 | 9.92 | 9.98 | 10.04 |
10.26 | 9.91 | 10.13 | 10.02 | 9.22 | 10.04 | 10.05 | 9.95 |
經(jīng)計算得, ,其中為抽取的第個零件的尺寸, .
用樣本平均數(shù)作為的估計值,用樣本標準差作為的估計值,利用估計值判斷是否需對當天的生產(chǎn)過程進行檢查?剔除之外的數(shù)據(jù),用剩下的數(shù)據(jù)估計和(精確到0.01).
附:若隨機變量服從正態(tài)分布,則,
, .
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【題目】已知直角梯形中,是邊長為2的等邊三角形,.沿將折起,使至處,且;然后再將沿折起,使至處,且面面,和在面的同側(cè).
(Ⅰ) 求證:平面;
(Ⅱ) 求平面與平面所構(gòu)成的銳二面角的余弦值.
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【題目】已知函數(shù).
(1)用定義證明函數(shù)在上是增函數(shù);
(2)探究是否存在實數(shù),使得函數(shù)為奇函數(shù)?若存在,求出的值;若不存在,請說明理由;
(3)在(2)的條件下,解不等式.
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【題目】經(jīng)銷商經(jīng)銷某種農(nóng)產(chǎn)品,在一個銷售季度內(nèi),每售出該產(chǎn)品獲利潤500元,未售出的產(chǎn)品,每虧損300元.根據(jù)歷史資料,得到銷售季度內(nèi)市場需求量的頻率分布直圖,如圖所示.經(jīng)銷商為下一個銷售季度購進了該農(nóng)產(chǎn)品.以()表示下一個銷售季度內(nèi)的市場需求量, (單位:元)表示下一個銷售季度內(nèi)經(jīng)銷該農(nóng)產(chǎn)品的利潤.
(Ⅰ)將表示為的函數(shù);
(Ⅱ)根據(jù)直方圖估計利潤不少于57000元的概率.
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【題目】語文成績服從正態(tài)分布,數(shù)學成績的頻率分布直方圖如下:
(Ⅰ)如果成績大于135的為特別優(yōu)秀,這500名學生中本次考試語文、數(shù)學特別優(yōu)秀的大約各多少人?(假設(shè)數(shù)學成績在頻率分布直方圖中各段是均勻分布的)
(Ⅱ)如果語文和數(shù)學兩科都特別優(yōu)秀的共有6人,從(Ⅰ)中的這些同學中隨機抽取3人,設(shè)三人中兩科都特別優(yōu)秀的有人,求的分布列和數(shù)學期望.
(附參考公式)若,則, .
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【題目】已知點為橢圓的左焦點,且兩焦點與短軸的一個頂點構(gòu)成一個等邊三角形,直線與橢圓有且僅有一個交點.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)設(shè)直線與軸交于,過點的直線與橢圓交于兩不同點, ,若,求實數(shù)的取值范圍.
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