Question

已知a，b∈R，可以證明：

(1) 1 2 a2+ 1 2 b2≥( 1 2 a+ 1 2 b)2； (2) 1 3 a2+ 2 3 b2≥( 1 3 a+ 2 3 b)2； (3) 1 4 a2+ 3 4 b2≥( 1 4 a+ 3 4 b)2；

根據(jù)上述不等式，寫出一個(gè)更一般的結(jié)論，并加以證明．

Answer 1

一般性結(jié)論為：已知a，b∈R，均為正數(shù)，若m+n=1則ma²+nb²≥（ma+nb）²（4分）
證明：要證ma²+nb²≥（ma+nb）²
即證ma²+nb²≥m²a²+n²b²+2mnab
即證m（1-m）a²+n（1-n）b²-2mnab≥0又m+n=1
故即證mn（a²+b²-2ab）≥0（6分）
即證mn（a-b）²≥0
因?yàn)閙，n為正數(shù)（a-b）²≥0
故mn（a-b）²≥0顯然成立，所以原命題成立．（8分）