Question

（本小題滿分14分）
已知向量、、兩兩所成的角相等，并且||＝1，||＝2，||＝3．
（Ⅰ）求向量＋＋的長度；
（Ⅱ）求＋＋與的夾角．

Answer 1

（Ⅰ）|＋＋|＝．（Ⅱ） ．

試題分析：（Ⅰ）設(shè)向量、、兩兩所成的角均為，則＝0或＝， 又||＝1，||＝2，||＝3．則當(dāng)＝0時(shí)，·＝||·||＝2，·＝||·||＝6，·＝||·||＝3，此時(shí) |＋＋|²＝²＋²＋²＋2·＋2·＋2·＝14＋22＝36，∴ |＋＋|＝6；
當(dāng)＝時(shí)，·＝||·||＝－1，·＝||·||＝－3，·＝||·||＝－，此時(shí) |＋＋|²＝²＋²＋²＋2·＋2·＋2·＝14－11＝3，∴ |＋＋|＝．
（Ⅱ）當(dāng)＝0，即|＋＋|＝6時(shí)，＋＋與的夾角顯然為0； 當(dāng)＝，即|＋＋|＝時(shí)，∵ （＋＋）·＝－，且|＋＋|·||＝， <＋＋，>＝－，∴＋＋與的夾角為．
點(diǎn)評：熟練運(yùn)用向量的運(yùn)算及數(shù)量積的概念是解決此類求模和夾角的常用方法