Question

【題目】設函數f（x）=（x+1）lnx﹣a（x﹣1）．
（1）若函數f（x）在x=e處的切線與y軸相交于點（0，2﹣e），求a的值；
（2）當1＜x＜2時，求證： ＞ ﹣ ．

Answer 1

【答案】
（1）解：f′（x）=lnx+ +1﹣a，x∈（0，+∞）

由題意可知： =f′（e），

整理得：e+1﹣a（e﹣1）﹣（2﹣e）=e（1+ +1﹣a），解得a=2

（2）證明：（2）當a=2時，f（x）=（x+1）lnx﹣2（x﹣1），

f′（x）=lnx+ ﹣1，f″（x）= ＞0，

∴f′（x）在（1，2）遞增，∴f′（x）＞f′（1）=0，

∴f（x）在（1，2）上是增函數，

∴f（x）＞f（1）=0，即（x+1）lnx＞2（x﹣1），

∴ ＜ ，①

∵1＜x＜2，

∴0＜2﹣a＜1， ＞1，

∴ ＜ = ，

即﹣ ＜ ，②

①+②得： ﹣ ＜ + =

【解析】（1）求函數的導數，根據導數的幾何意義即可求出函的切線斜率，即可求得a的值；（2）a=2時，f（x）=（x+1）lnx﹣2（x﹣1），得到f（x）在（1，2）上是增函數，可知（x+1）lnx＞2（x﹣1），即 ＜ 利用函數的單調性，求得﹣ ＜ ，根據對數函數的運算即可證明不等式成立．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解函數的最大(小)值與導數的相關知識，掌握求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值．