【題目】已知A(1, )是離心率為 的橢圓E: + =1(a>b>0)上的一點,過A作兩條直線交橢圓于B、C兩點,若直線AB、AC的傾斜角互補(bǔ).
(1)求橢圓E的方程;
(2)試證明直線BC的斜率為定值,并求出這個定值;
(3)△ABC的面積是否存在最大值?若存在,求出這個最大值?若不存在,說明理由.
【答案】
(1)解:∵橢圓的離心率為 ,∴ ,∴a2=2b2
∴橢圓方程為
∵A(1, )是橢圓上的點,
∴
∴b2=2
∴橢圓方程為
(2)證明:設(shè)直線AB的方程為 ,代入橢圓方程可得(k2+2)x2﹣ x+( )=0,∵x=1是方程的一個實根,
∴由韋達(dá)定理得,1+xB= ,故xB= ,
∴ = ,
∴B( , ),
∵AB、AC的傾斜角互補(bǔ),故其斜率互為相反數(shù),用﹣k代替k可得
C( , ),∴ = =
(3)解:設(shè)BC的方程為y= x+m,由 可得 ,
設(shè)方程的兩根為x1,x2,于是|BC|= =
又A(1, )到直線BC的距離為d= ,
∴ = ≤ = ,
當(dāng)且僅當(dāng)m2=4時等號成立,故△ABC的面積的最大值為
【解析】(1)利用A(1, )是離心率為 的橢圓E: + =1(a>b>0)上的一點,建立方程,求出幾何量,即可得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)設(shè)出直線方程,代入橢圓方程,確定B,C的坐標(biāo),即可求出直線BC的斜率為定值;(3)設(shè)出直線方程,代入橢圓方程,利用韋達(dá)定理,確定三角形的面積,利用基本不等式,即可求得結(jié)論.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知數(shù)列{an}的首項a1=a,Sn是數(shù)列{an}的前n項和,且滿足:Sn2=3n2an+Sn﹣12 , an≠0,n≥2,n∈N* .
(1)若數(shù)列{an}是等差數(shù)列,求a的值;
(2)確定a的取值集合M,使a∈M時,數(shù)列{an}是遞增數(shù)列.
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【題目】已知點A(3,3)、B(5,2)到直線l的距離相等,且直線l經(jīng)過兩直線l1:3x﹣y﹣1=0和l2:x+y﹣3=0的交點,求直線l的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】過點A(a,a)可作圓x2+y2﹣2ax+a2+2a﹣3=0的兩條切線,則實數(shù)a的取值范圍為( )
A.a<﹣3或a>1
B.a<
C.﹣3<a<1 或a>
D.a<﹣3或1<a<
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【題目】設(shè)Sn是數(shù)列{an}的前n項和,已知a1=2,an+1=Sn+2.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式.
(2)令bn=(2n﹣1)an , 求數(shù)列{bn}的前n項和Tn .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】函數(shù)f(x)= sin(ωx+φ)﹣cos(ωx+φ)(0<φ<π,ω>0)對任意x∈R,都有f(﹣x)+f(x)=0,f(x)+f(x+ )=0,則f( )=( )
A.0
B.1
C.
D.2
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】電視傳媒公司為了解某地區(qū)電視觀眾對某類體育節(jié)目的收視情況,隨機(jī)抽取了100名觀眾進(jìn)行調(diào)查.下面是根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的觀眾日均收看該體育節(jié)目時間的頻率分布直方圖:
將日均收看該體育節(jié)目時間不低于40分鐘的觀眾稱為“體育迷”.
(1)根據(jù)已知條件完成上面的列聯(lián)表,若按的可靠性要求,并據(jù)此資料,你是否認(rèn)為“體育迷”與性別有關(guān)?
(2)將上述調(diào)查所得到的頻率視為概率.現(xiàn)在從該地區(qū)大量電視觀眾中,采用隨機(jī)抽樣方法每次抽取1名觀眾,抽取3次,記被抽取的3名觀眾中的“體育迷”人數(shù)為.若每次抽取的結(jié)果是相互獨立的,求分布列,期望和方差.
附:
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某校從高一年級期末考試的學(xué)生中抽出60名學(xué)生,其成績(均為整數(shù))的頻率分布直方圖如圖所示:
(1)依據(jù)頻率分布直方圖,估計這次考試的及格率(60分及以上為及格)和平均分;
(2)已知在[90,100]段的學(xué)生的成績都不相同,且都在94分以上,現(xiàn)用簡單隨機(jī)抽樣方法,從95,96,97,98,99,100這6個數(shù)中任取2個數(shù),求這2個數(shù)恰好是兩個學(xué)生的成績的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù),且當(dāng)時, ,則對任意,函數(shù)的零點個數(shù)至多有( )
A. 3個 B. 4個 C. 6個 D. 9個
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