16.設數(shù)列{an}的前n項和為Sn,已知a1=1,Sn+1=4an+2(n∈N*).
(Ⅰ)設bn=an+1-2an,證明數(shù)列{bn}是等比數(shù)列;
(Ⅱ)設cn=(n2+n)•2n,求數(shù)列$\{\frac{b_n}{c_n}\}$的前n項和為Tn

分析 (I)Sn+1=4an+2(n∈N*),n=1時,1+a2=4×1+2,解得a2.n≥2時,an+1=Sn+1-Sn,化為:an+1-2an=2(an-2an-1),即bn=2bn-1,即可證明.
(II)由(I)可得:bn=3×2n-1,可得$\frac{_{n}}{{c}_{n}}$=$\frac{3}{2}(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1})$,利用“裂項求和”方法即可得出.

解答 (I)證明:∵Sn+1=4an+2(n∈N*),∴n=1時,1+a2=4×1+2,解得a2=5.
n≥2時,Sn=4an-1+2,an+1=Sn+1-Sn=4an+2-(4an-1+2),化為:
an+1-2an=2(an-2an-1),∴bn=2bn-1,b1=a2-2a1=3.
∴數(shù)列{bn}是等比數(shù)列,首項為3,公比為2.
(II)解:由(I)可得:bn=3×2n-1,
∴$\frac{_{n}}{{c}_{n}}$=$\frac{3×{2}^{n-1}}{({n}^{2}+n)•{2}^{n}}$=$\frac{3}{2}(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1})$,
∴數(shù)列$\{\frac{b_n}{c_n}\}$的前n項和Tn=$\frac{3}{2}[(1-\frac{1}{2})+(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})$+…+$(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1})]$
=$\frac{3}{2}(1-\frac{1}{n+1})$=$\frac{3n}{2n+2}$.

點評 本題考查了數(shù)列的遞推關系、等比數(shù)列的通項公式、“裂項求和”方法,考查了推理能力與計算能力,屬于中檔題.

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