【題目】在斜三棱柱中，為等腰直角三角形，，平面⊥平面，點為棱的中點，.

（1）證明：平面平面.

（2）求二面角的余弦值.

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

（1）證明平面，平面平面即得證；

（2）由于，，兩兩垂直，以為坐標原點，，，分別為，，軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系，再利用向量法求出二面角的余弦值.

（1）證明：分別取，的中點和，連接，，，.

因為，為的中點，所以，

因為平面平面，且平面平面.

所以平面，

因為是的中點.

所以，且，

因為點為棱的中點所以，且，

所以，且，所以四邊形是平行四邊形，則.

因為平面，所以平面，

因為平面，所以平面平面.

（2）由題意得，則平面，故，，兩兩垂直.

以為坐標原點，，，分別為，，軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系，

則，，，，

故，，，

設平面的法向量為，

則，令，得.

設平面的法向量為，

則令，得，

則，

由圖可知二面角為銳角，則二面角的余弦值為.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是邊長為2的菱形，∠DAB＝60°，AD⊥PD，點F為棱PD的中點．

（1）在棱BC上是否存在一點E，使得CF∥平面PAE，并說明理由；

（2）若AC⊥PB，二面角D﹣FC﹣B的余弦值為時，求直線AF與平面BCF所成的角的正弦值．

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【題目】政府工作報告指出，2019年我國深入實施創(chuàng)新驅(qū)動發(fā)展戰(zhàn)略，創(chuàng)新能力和效率進一步提升；2020年要提升科技支撐能力，健全以企業(yè)為主體的產(chǎn)學研一體化創(chuàng)新機制，某企業(yè)為了提升行業(yè)核心競爭力，逐漸加大了科技投入；該企業(yè)連續(xù)5年來的科技投入x（百萬元）與收益y（百萬元）的數(shù)據(jù)統(tǒng)計如下：

科技投入x

1

2

3

4

5

收益y

40

50

60

70

90

（1）請根據(jù)表中數(shù)據(jù)，建立y關于x的線性回歸方程；

（2）按照（1）中模型，已知科技投入8百萬元時收益為140百萬元，求殘差（殘差真實值－預報值）.

參考數(shù)據(jù)：回歸直線方程，其中.

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【題目】在①；②；③，這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，然后解答補充完整的題目.

在△中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為.且滿足_________.

（1）求；

（2）已知，△的外接圓半徑為，求△的邊AB上的高.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，在多面體中，為矩形，為等腰梯形，，，，且，平面平面，，分別為，的中點.

（Ⅰ）求證：平面；

（Ⅱ）若，求多面體的體積.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在四棱錐中，，.

(Ⅰ)若點為的中點，求證：∥平面；

(Ⅱ)當平面平面時，求二面角的余弦值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)．

Ⅰ若函數(shù)的最大值為3，求實數(shù)的值；

Ⅱ若當時，恒成立，求實數(shù)的取值范圍；

Ⅲ若，是函數(shù)的兩個零點，且，求證：．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】質(zhì)量是企業(yè)的生命線，某企業(yè)在一個批次產(chǎn)品中隨機抽檢件，并按質(zhì)量指標值進行統(tǒng)計分析，得到表格如表：

質(zhì)量指標值

等級

頻數(shù)

頻率

三等品

10

0.1

二等品

30

一等品

0.4

特等品

20

0.2

合計

1

（1）求，，；

（2）從質(zhì)量指標值在的產(chǎn)品中，按照等級分層抽樣抽取6件，再從這6件中隨機抽取2件，求至少有1件特等品被抽到的概率.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】若存在實常數(shù)和，使得函數(shù)和對其公共定義域上的任意實數(shù)x都滿足：和恒成立，則稱此直線為和的“隔離直線”，已知函數(shù)，，（為自然對數(shù)的底數(shù)），則（ ）

A.在內(nèi)單調(diào)遞增；

B.和之間存在“隔離直線”，且的最小值為；

C.和之間存在“隔離直線”，且的取值范圍是；

D.和之間存在唯一的“隔離直線”.

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