Question

設(shè)y=f（x）在[0，+∞）上有定義，對于給定的實(shí)數(shù)M，定義函數(shù)fM(x)=

f(x)，f(x)≤M M，f(x)＞M

，給出函數(shù)f（x）=3-2x-x²，若對于任意x∈[0，+∞），恒有f_M（x）=f（x），則M的最小值為

3

；M的最大值為

不存在

．

Answer 1

分析：先根據(jù)新定義的函數(shù)，將所求解的問題轉(zhuǎn)化為求解恒成立問題，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題，利用二次函數(shù)的單調(diào)性求解函數(shù)的最值，進(jìn)而求出M的范圍．

解答：解：由題意恒有f_M（x）=f（x），需M≥f（x）對于任意x∈[0，+∞）恒成立
即需M≥f（x）的最大值，
由于f（x）=3-2x-x²=-（x+1）²+2
故f（x）在[0，+∞）上為減函數(shù)
故函數(shù)f（x）的最大值為f（0）=3
故M≥3，故M有最小值3，但無最大值
故答案為：3，不存在

點(diǎn)評：本題考查學(xué)生對新定義型問題的理解和掌握程度，理解好新定義的分段函數(shù)是解決本題的關(guān)鍵，不等式恒成立問題的解法，轉(zhuǎn)化化歸的思想方法