Question

（2008•盧灣區(qū)二模）（文）（1）已知動點P（x，y）到點F（0，1）與到直線y=-1的距離相等，求點P的軌跡L的方程；
（2）若正方形ABCD的三個頂點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃）（x₁＜0≤x₂＜x₃）在（1）中的曲線L上，設(shè)BC的斜率為k，l=|BC|，求l關(guān)于k的函數(shù)解析式l=f（k）；
（3）由（2），求當k=2時正方形ABCD的頂點D的坐標．

Answer 1

分析：（1）利用拋物線的定義，可求點P的軌跡L的方程；
 （2）由（1），假設(shè)直線BC的方程為：y=k(x-x2)+

x 2 2

4

（k＞0），與曲線方程聯(lián)立，則得|BC|=

1+k2

(x3-x2)=2

1+k2

(2k-x2)，，同理|AB|=

2 1+k2

k2

(2+kx2)，根據(jù)|AB|=|BC|，可得函數(shù)關(guān)系式；
（3）由（2）及k=2易得點B、C、A的坐標從而可求D的坐標．

解答：解：（1）由題設(shè)可得動點P的軌跡方程為x²=4y．                         （4分）
（2）由（1），可設(shè)直線BC的方程為：y=k(x-x2)+

x 2 2

4

（k＞0），

y=k(x-x2)+ x 2 2 4 x2=4y

消y得x²-4kx-x₂²+4kx₂=0，
易知x₂、x₃為該方程的兩個根，故有x₂+x₃=4k，得x₃=4k-x₂，
從而得|BC|=

1+k2

(x3-x2)=2

1+k2

(2k-x2)，（7分）
類似地，可設(shè)直線AB的方程為：y=-

1

k

(x-x2)+

x 2 2

4

，
從而得|AB|=

2 1+k2

k2

(2+kx2)，（9分）
由|AB|=|BC|，得k²•（2k-x₂）=（2+kx₂），
解得x2=

2(k3-1)

k2+k

，（11分）l=f(k)=

4 1+k2 (k2+1)

k(k+1)

（k＞0）．                              （13分）
（3）由（2）及k=2可得點B、C、A的坐標分別為，B(

7

3

，

49

36

)，C(

17

3

，

289

36

)，A(-

13

3

，

169

36

)，所以D(-1，

409

36

)．                              （18分）

點評：本題以拋物線為載體，考查拋物線的標準方程，考查函數(shù)關(guān)系式的求解，有一定的綜合性．