Question

【題目】如圖，在四棱錐S﹣ABCD中，側面SCD為鈍角三角形且垂直于底面ABCD，，點M是SA的中點，，，.

（1）求證：平面SCD；

（2）若直線SD與底面ABCD所成的角為，求平面MBD與平面SBC所成的銳二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

（1）取中點，連接，設，，由已知可得，則，又平面底面，由面面垂直的性質可得平面；

（2）過點作的垂線，交延長線于點，連接，可得，則底面，故為斜線在底面內的射影，求解三角形可得，從而，過點作，則底面，可得、、兩兩垂直，以點為坐標原點，為軸正方向，為軸正方向，為軸正方向建立空間直角坐標系，然后分別求出平面與平面的一個法向量，由兩法向量所成角的余弦值可得平面與平面所成的銳二面角的余弦值．

解：（1）證明：取BC的中點E，連接DE，

設，，

依題意，四邊形ABED為正方形，

且有,

，則.

又平面底面ABCD，平面底面，

平面SCD；

（2）解：過點S作CD的垂線，交CD延長線于點H，連接AH，

平面底面ABCD，

平面底面，

平面SCD，底面ABCD，

故DH為斜線SD在底面ABCD內的射影，

為斜線SD與底面ABCD所成的角，即.

由（1）得，，在中，，，

在中，，

由余弦定理得，

，從而，

過點D作，底面ABCD，

DB、DC、DF兩兩垂直，

如圖，以點D為坐標原點，為x軸正方向，為y軸正方向，為z軸正方向建立空間直角坐標系，

則，，

設平面MBD的法向量，

由，

取，得；

設平面SBC的一個法向量為，

由，

取，得.

.

平面MBD與平面SBC所成的銳二面角的余弦值為.