Question

【題目】某學(xué)校有n個(gè)班（n為給定正整數(shù)），且每班的男生與女生人數(shù)至多相差1．現(xiàn)該學(xué)校進(jìn)行乒乓球比賽，規(guī)則如下：同一班的選手之間不比賽，不同班的每兩名選手都比賽一場．我們稱在同性別選手間的比賽為同打，異性別選手間的比賽為異打．若同打場數(shù)與異打場數(shù)至多相差1，求有奇數(shù)名學(xué)生的班級至多有多少個(gè)？

Answer 1

【答案】見解析

【解析】

設(shè)有奇數(shù)名學(xué)生的班最多有m個(gè)，，k為正整數(shù)，r為非負(fù)整數(shù)且．

當(dāng)時(shí)，；

當(dāng)時(shí)，：

當(dāng)且時(shí)，．

記這n個(gè)班為，且班有個(gè)男生，個(gè)女生，并設(shè)，．

則且m為中不為0的個(gè)數(shù)，這里班有奇數(shù)名學(xué)生即．

于是，同打場數(shù)為，異打場數(shù)為．

由題意知 或．

若，則不考慮班，此時(shí)對結(jié)論無影響（此班學(xué)生數(shù)為偶數(shù)）．

于是由m的性質(zhì)知最后恰有m個(gè)不為0不妨設(shè)班學(xué)生數(shù)為奇數(shù)．故只要在及或的條件下，求m所能取到的最大值．

設(shè)有x個(gè)為1，y個(gè)為．則且或，這里．

當(dāng)時(shí)，由m或或為平方數(shù)知，故．令，時(shí)，，故此時(shí)所求m為．

當(dāng)時(shí)，由及令，時(shí)，，知此時(shí)所求m為n．

同理，時(shí)有．

當(dāng)且時(shí)，由m或或為完全平方數(shù)知：

若m為平方數(shù)，則為最大值：若為平方數(shù)，則為最大值；若為平方數(shù)，則為最大值．

由m的性質(zhì)知，，令，其余的為時(shí)取到．

綜上即得結(jié)論．