【題目】已知函數(shù).

1)討論的導數(shù)的單調性;

2)若有兩個極值點,,求實數(shù)的取值范圍,并證明.

【答案】(1)上單調遞減,上單調遞增;

2)見解析.

【解析】

1)求出,令,對,討論來求的單調性;

2)將有兩個極值點,轉化為有兩解,繼續(xù)轉化為有兩解,構造函數(shù),求導為其極小值,可得,即可求得實數(shù)的取值范圍;另外要證明,不妨設,則,由(1)根據(jù)的單調性得,通過變形,轉化為證明,進一步變形證明,構造函數(shù),利用導數(shù)研究其最小值即可證明.

1)由題意,得.

,則.

①當時,,所以上單調遞增.

②當時,由,得.

時,,上單調遞減;

時,,上單調遞增.

2)由于有兩個極值點,,即上有兩解,,

,顯然,故等價于有兩解,

,則,

時,,所以單調遞減,

,時,,時,;

時,,所以單調遞減,且時,;

時,,所以單調遞增,且時,,

所以的極小值,有兩解,等價于,得.

不妨設,則.

據(jù)(1上單調遞減,在上單調遞增,

,

由于,,且,則,

所以,

,

欲證明:,等價于證明:

即證明:,只要證明:,

因為上單調遞減,

所以只要證明:,

由于,所以只要證明:,

即證明:

,據(jù)(1,

所以上單調遞增,

所以,

,

.

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x

1

2

3

4

5

y(萬人)

20

50

100

150

180

1)試根據(jù)表中的數(shù)據(jù),求出y關于x的線性回歸方程,并預測到哪一年該公司的網(wǎng)購人數(shù)能超過300萬人;

2)該公司為了吸引網(wǎng)購者,特別推出玩網(wǎng)絡游戲,送免費購物券活動,網(wǎng)購者可根據(jù)拋擲骰子的結果,操控微型遙控車在方格圖上行進. 若遙控車最終停在勝利大本營,則網(wǎng)購者可獲得免費購物券500元;若遙控車最終停在失敗大本營,則網(wǎng)購者可獲得免費購物券200. 已知骰子出現(xiàn)奇數(shù)與偶數(shù)的概率都是,方格圖上標有第0格、第1格、第2格、、第20格。遙控車開始在第0格,網(wǎng)購者每拋擲一次骰子,遙控車向前移動一次.若擲出奇數(shù),遙控車向前移動一格(從)若擲出偶數(shù)遙控車向前移動兩格(從),直到遙控車移到第19格勝利大本營)或第20格(失敗大本營)時,游戲結束。設遙控車移到第格的概率為,試證明是等比數(shù)列,并求網(wǎng)購者參與游戲一次獲得免費購物券金額的期望值.

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