Question

（本小題滿分13分）
已知橢圓和拋物線有公共焦點(diǎn)F(1,0), 的中心和的頂點(diǎn)都在坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)M（4，0）的直線與拋物線分別相交于A,B兩點(diǎn).
（Ⅰ）寫出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）若，求直線的方程；
（Ⅲ）若坐標(biāo)原點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)在拋物線上，直線與橢圓有公共點(diǎn)，求橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)的最小值.

Answer 1

（1）（2）或（3）

（Ⅰ）由題意，拋物線的方程為：，                                 …………2分
（Ⅱ）設(shè)直線的方程為：.

聯(lián)立，消去，得，                    ……………3分
顯然，設(shè)，
則                  ①
        ②                                     …………………4分
又，所以     ③                                        …………………5分
由①②③消去，得   ，              
故直線的方程為或 .                             …………………6分
（Ⅲ）設(shè)，則中點(diǎn)為，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823141111705248.gif" style="vertical-align:middle;" />兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，
所以，即，解之得，                         …………………8分
將其代入拋物線方程，得：
，所以，.                                               ………………………9分
聯(lián)立，消去，得：
.                                          ………………………10分
由，得
，即，                                 …………………12分
將，代入上式并化簡(jiǎn)，得
，所以，即，   
因此，橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)的最小值為.                                          ………………………13分