Question

已知函數(shù)y=f（x）是R上的偶函數(shù)，對于x∈R，都有f（x-6）=f（x）+f（3）成立，且f（2）=-1，當(dāng)x₁，x₂∈[0，3]，且x₁≠x₂時，都有

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞0．則給出下列命題：
①f（2014）=-1；    
②函數(shù)y=f（x）圖象的一條對稱軸為x=6；
③函數(shù)y=f（x）在[6，9]上為增函數(shù)；
④函數(shù)f（x）在[-12，12]上有8個零點．
其中所有正確命題的序號為

 

．

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：簡易邏輯

分析：首先，根據(jù)f（x-6）=f（x）+f（3），得到f（3）=0，然后，借助于條件當(dāng)x₁，x₂∈[0，3]，且x₁≠x₂時，都有

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞0．得到函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，3]上為增函數(shù)，從而得到該函數(shù)的周期為6，從而求解問題．

解答： 解：∵f（x-6）=f（x）+f（3），
∴當(dāng)x=3時，f（-3）=f（3）+f（3），
∴f（3）=0，
∵當(dāng)x₁，x₂∈[0，3]，且x₁≠x₂時，都有

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞0．
∴函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，3]上為增函數(shù)，
對于①：f（2014）=f（672×3-2）=f（-2）=f（2）=-1，
故①正確；
對于②：
∵f（x-6）=f（x）+f（3），
∴當(dāng)x=6時，f（0）=f（6）+f（3），
∵f（3）=0，
∴f（0）=f（6），
∵x=0為該函數(shù)的對稱軸，
∴函數(shù)y=f（x）圖象的一條對稱軸為x=6；
∴②正確；
對于③：
根據(jù)②得，該函數(shù)的周期為6，
∵當(dāng)x₁，x₂∈[0，3]，且x₁≠x₂時，都有

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞0．
∴函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，3]上為增函數(shù)，
∴函數(shù)y=f（x）在[6，9]上為增函數(shù)；
∴③正確；
對于④：根據(jù)函數(shù)的周期為6，且f（3）=0，
∴函數(shù)f（x）在[-12，12]上有4個零點．
∴④錯誤，
故答案為：①②③．

點評：本題綜合考查了函數(shù)的單調(diào)性周期性奇偶性等知識，屬于綜合題，充分利用各個條件是解題的關(guān)鍵，本題屬于難題．