Question

已知函數(shù)

（1）若函數(shù)在上有極值點，求實數(shù)的范圍．

（2）求證：時，

 

Answer 1

（1）（1,2）；（2）見解析

【解析】

試題分析：（1）先求出的導數(shù)，求出的單調(diào)區(qū)間，找出的極值點，讓的極值點在，列出關(guān)于的不等式，從而求出的取值范圍；

（2）構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)的運算法則求出的導函數(shù)，可判定當時，的導函數(shù)恒大于0，所以在（1，+）上是增函數(shù)，所以當時，＞＞0，從而證明原不等式成立.

試題解析：(1)， 2分

當時，；當時，

故在單增，在上單減 4分

若函數(shù)在上有極值點

須解得

故實數(shù)的范圍是 6分

(2)證明：證法一：設(shè)，則

， 7分

求導化簡得， 9分

11分

在上單增，故 13分

時， 14分

證法二:令

則， 令，則

當時，故在單增 8分

故，故在上單增，故 10分

令，則，當時

故在上單增，故 12分

13分

時，時， 14分

考點:常見函數(shù)的導數(shù)；導數(shù)的運算法；導數(shù)與函數(shù)單調(diào)性關(guān)系；導數(shù)與函數(shù)極值關(guān)系；利用導數(shù)證明不等式；運算求解能力