【題目】如圖,在側(cè)棱和底面垂直的三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AB=1,AC= ,BC=2,AA1= ,點(diǎn)P為CC1的中點(diǎn).
(1)求證:A1C⊥平面ABP;
(2)求平面ABP與平面A1B1P所成二面角的正弦值.

【答案】
(1)證明:在側(cè)棱和底面垂直的三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AA1⊥平面ABC,

∵AB平面ABC,∴AA1⊥AB,

∵AB=1,AC= ,BC=2,AA1= ,點(diǎn)P為CC1的中點(diǎn),

∴BC2=AB2+AC2,∴AB⊥AC,

又AA1∩AC=A,∴AB⊥A1C,

在矩形ACC1A1中,A1C= =3,AP= = ,

在Rt△A1CA中,sin∠A1CA= = ,

在Rt△PAC中,cos = ,

∴sin∠A1CA=cos∠PAC,∴∠PAC+∠A1CA=90°,

∴A1C⊥AP,

∵AP∩AB=A,∴A1C⊥平面ABP


(2)解:由(1)知AB⊥AC,AA1⊥AB,AA1⊥AC,

以A為坐標(biāo)原點(diǎn),以AB為x軸,AC為y軸,AA1為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,

則A(0,0,0),B(1,0,0),A1(0,0, ),C(0, ,0),P(0, , ),

=(1,0,0), ,

設(shè)平面A1B1P的法向量為 =(x,y,z),

,

令y=1,得 =(0,1, ),

由(1)知平面ABP的一個(gè)法向量為 =(0,﹣ , ),

∴cos< >= = = ,

∴sin< >= =

即平面ABP與平面A1B1P所成二面角的正弦值為


【解析】(1)推導(dǎo)出AA1⊥AB,AB⊥AC,從而AB⊥A1C,再推導(dǎo)出A1C⊥AP,由此能證明A1C⊥平面ABP.(2)以A為坐標(biāo)原點(diǎn),以AB為x軸,AC為y軸,AA1為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法能求出平面ABP與平面A1B1P所成二面角的正弦值.
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題,首先需要了解直線與平面垂直的判定(一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直,則該直線與此平面垂直;注意點(diǎn):a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視;b)定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想).

練習(xí)冊(cè)系列答案
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