Question

(本小題滿分14分)設(shè)b>0，橢圓方程為，拋物線方程為.如圖4所示,過點(diǎn)F(0,b+2)作x軸的平行線，與拋物線在

第一象限的交點(diǎn)為G.已知拋物線在點(diǎn)G的切線經(jīng)

過橢圓的右焦點(diǎn).

(1)求滿足條件的橢圓方程和拋物線方程;

(2)設(shè)A,B分別是橢圓長(zhǎng)軸的左、右端點(diǎn)，試探究在

拋物線上是否存在點(diǎn)P，使得△ABP為直角三角形？

若存在，請(qǐng)指出共有幾個(gè)這樣的點(diǎn)？并說(shuō)明理由

（不必具體求出這些點(diǎn)的坐標(biāo)）.

Answer 1

滿足條件的橢圓方程和拋物線方程分別為和

4個(gè)

解析:

(1)解方程組得,

         所以點(diǎn)G的坐標(biāo)為G(4,b+2)，

         由，得，求導(dǎo)數(shù)得，

        于是，拋物線在點(diǎn)G的切線l的斜率為，

        又橢圓中，即c=b,所以橢圓的右焦點(diǎn)為（b,0）

        由切線l過點(diǎn)，可知，解得b=1.

         所以滿足條件的橢圓方程和拋物線方程分別為和

(2) 在拋物線上存在點(diǎn)P，使得△ABP為直角三角形。且這樣的點(diǎn)有4個(gè)。

證明：分別過點(diǎn)A、B做y軸的平行線，交拋物線于M，N點(diǎn)，則∠MAB=90^O，∠NBA=90^O，  

      顯然M，N在拋物線上，且使得△ABM，△ABN為直角三角形。

     設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為D，則點(diǎn)|OD|=1，又|OA|=|OB|=，顯然∠ADB>90^O.

     所以，在拋物線上位于點(diǎn)D、M和點(diǎn)D、N之間，一定分別存在一個(gè)點(diǎn)P，使得∠APB=90^O.

     綜上所述, 滿足條件的點(diǎn)共有4個(gè)。