Question

如圖，在直角梯形ABCD中，∠ABC=∠DAB=90°，AD=3，BC=2，AB=

3

，E、F為AD上的兩個三等分點，G、H分別為線段AB，BC的中點，將△ABE沿直線BE翻折成△A₁BE，使平面A₁BE⊥平面BCDE．
（1）求證：A₁D∥平面FGH；
（2）直線A₁D與平面A₁BE所成角；
（3）過點A₁作平面α與線段BC交于點J，使得平面α垂直于BC，求CJ的長度．

Answer 1

考點：直線與平面平行的判定,直線與平面所成的角

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）由已知得BC=2=ED且BC∥ED，推斷出四邊形BCDE為平行四邊形，進(jìn)而根據(jù)H、F為BC、ED的中點，設(shè)BD∩HF=O，得出O為BD的中點，連GO，可知G為A₁B中點，進(jìn)而推斷出OG∥A₁D又最后利用線面平行的判定定理證明結(jié)論．
（Ⅱ）在平面BCD內(nèi)過點D作DM⊥BE，交BE延長線于點M，連A₁M，由已知平面A₁BE⊥平面BCDE，且BE為兩平面的交線，推斷出DM⊥平面A₁BE，進(jìn)而可知∠DA₁M即為直線A₁D與平面A₁BE所成的二面角．在△DEM中，由DE，∠DEM可求得DM=

3

；在△A₁EM中，A₁E，EM，∠A₁EM求得A1M=

3

從而求得tan∠DA1M=

DM

A1M

=

3

3

=1，則∠DA₁M可求得．
（ III）過A₁作A₁K⊥BE交BE于K，則由平面A₁BE⊥平面BCDE．可得A₁K⊥平面BCDE，從而BC⊥A₁K，過K作KM⊥BC交BC于M，則BC⊥平面A₁KM，由于過A₁且與BC垂直的平面是唯一的，所以平面A₁KM即平面α，點M即點J，在Rt△ABE中，BK已知進(jìn)而求得BJ和CJ．

解答： 解：（Ⅰ）由已知得BC=2=ED且BC∥ED，
∴四邊形BCDE為平行四邊形，
H、F為BC、ED的中點，設(shè)BD∩HF=O，
∴O為BD的中點，連GO，
∴G為A₁B中點，
∴OG∥A₁D
又GO?平面FGH，
∴A₁D∥平面FGH．
（Ⅱ）（Ⅱ）在平面BCD內(nèi)過點D作DM⊥BE，交BE延長線于點M，連A₁M，
∵平面A₁BE⊥平面BCDE，且BE為兩平面的交線，
∴DM⊥平面A₁BE，
∴∠DA₁M即為直線A₁D與平面A₁BE所成的二面角
在△DEM中，由DE=2，∠DEM=60°，
∴DM=

3

在△A₁EM中，A₁E=1，EM=1，∠A₁EM=120°，
∴A1M=

3

，
∴tan∠DA1M=

DM

A1M

=

3

3

=1，
∴∠DA1M=

π

4

，
即直線A₁D與平面A₁BE所成的角為

π

4

．
（ III）過A₁作A₁K⊥BE交BE于K，
∵平面A₁BE⊥平面BCDE．
∴A₁K⊥平面BCDE，
∴BC⊥A₁K，
過K作KM⊥BC交BC于M，則BC⊥平面A₁KM，由于過A₁且與BC垂直的平面是唯一的，
∴平面A₁KM即平面α，點M即點J，
在Rt△ABE中，BK=

3

2

，
∴在Rt△BKJ中，BJ=

1

2

BK=

3

4

，
∴CJ=

5

4

．

點評：本題主要考查了線面平行的判定定理，線面垂直的性質(zhì)和判定定理以及二面角的相關(guān)知識．在解決二面角的問題時，常做出二面角通過平面幾何的知識來解決．