Question

（本小題滿分14分）如圖，在三棱錐中，面面，是正三角形， ，．

（Ⅰ）求證：；

（Ⅱ）求平面DAB與平面ABC的夾角的余弦值；

（Ⅲ）求異面直線與所成角的余弦值．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）見(jiàn)解析；（Ⅱ） 平面DAB與平面ABC的夾角的余弦值為；

（Ⅲ）異面直線與所成角的余弦值為 。

【解析】本試題主要是考查了線線的垂直和二面角的求解，以及異面直線的所成的角的求解的綜合運(yùn)用。

（1）先根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理得到線線垂直的判定。

（2）要求解二面角的平面角可以運(yùn)用三垂線定理作出角，或者利用空間向量表示的二面角平面角。

（3）對(duì)于異面直線的所成的角，可以通過(guò)平移法得到結(jié)論。

（Ⅰ）分別取、的中點(diǎn)、，連結(jié)、．

∵是正三角形，∴．

∵面⊥面，且面面，

∴平面．∵是的中位線，且平面，∴平面．

以點(diǎn)為原點(diǎn)，所在直線為軸，所   

在直線為軸，所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系．設(shè)，則，

，， ，．

∴，．             ……………………2分

∴．

∴，即 ．                       …………………5分

（Ⅱ）∵平面，     ∴平面的法向量為．            

設(shè)平面的法向量為，∴，．

∴，即 ．

，即 ．

∴令，則，．     ∴．               

 ．

 平面DAB與平面ABC的夾角的余弦值為          …………………10分

（Ⅲ）∵，，

∴．

∴異面直線與所成角的余弦值為                  …………………14