在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y2=2x的焦點(diǎn)為F．設(shè)M是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，則
MO
MF
的最大值為
2
3
3
2
3
3
．
分析：設(shè)M（m，n）到拋物線y2=2x的準(zhǔn)線x=-
1
2
的距離等于d，由拋物線的定義可得
|MO|
|MF|
=
|MO|
d
，化簡為
1+
m-
1
4
m2+m+
1
4
，利用基本不等式可求得最大值．
解答：解：解：焦點(diǎn)F（
1
2
，0），設(shè)M（m，n），則n2=2m，m＞0，設(shè)M到準(zhǔn)線x=-
1
2
的距離等于d，
則由拋物線的定義得
|MO|
|MF|
=
|MO|
d
=
m2+n2
m+
1
2
=
m2+2m
m2+m+
1
4
=
1+
m-
1
4
m2+m+
1
4
，
令
m-
1
4
m2+m+
1
4
=t，則tm2+（t-1）m+
1
4
t+
1
4
=0，
當(dāng)t=0時(shí)，
|MO|
d
=1；
當(dāng)t≠0時(shí)，tm2+（t-1）m+
1
4
t+
1
4
=0有解的充要條件為：△≥0，
即（t-1）2-4t（
1
4
t+
1
4
）≥0?1-3t≥0，
∴t≤
1
3
．
∴tmax=
1
3
，此時(shí)(
|MO|
d
)max=
1+
1
3
=
2
3
3
．
故答案為：
2
3
3
．
點(diǎn)評(píng)：本題考查拋物線的定義、簡單性質(zhì)，基本不等式的應(yīng)用，體現(xiàn)了換元的思想，把
MO
MF
化為
1+
m-
1
4
m2+m+
1
4
 是解題的關(guān)鍵和難點(diǎn)，屬于難題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在平面直角坐標(biāo)系xoy中，已知圓心在直線y=x+4上，半徑為2
2
的圓C經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O，橢圓
x2
a2
+
y2
9
=1(a＞0)與圓C的一個(gè)交點(diǎn)到橢圓兩焦點(diǎn)的距離之和為10．
（1）求圓C的方程；
（2）若F為橢圓的右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在圓C上，且滿足PF=4，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，銳角α和鈍角β的終邊分別與單位圓交于A，B兩點(diǎn)．若點(diǎn)A的橫坐標(biāo)是
3
5
，點(diǎn)B的縱坐標(biāo)是
12
13
，則sin（α+β）的值是
16
65
16
65
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若焦點(diǎn)在x軸的橢圓
x2
m
+
y2
3
=1的離心率為
1
2
，則m的值為
4
4
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•泰州三模）選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知A（0，1），B（0，-1），C（t，0），D(
3t
，0)，其中t≠0．設(shè)直線AC與BD的交點(diǎn)為P，求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡的參數(shù)方程（以t為參數(shù)）及普通方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•東莞一模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左焦點(diǎn)為F1（-1，0），且橢圓C的離心率e=
1
2
．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)橢圓C的上下頂點(diǎn)分別為A1，A2，Q是橢圓C上異于A1，A2的任一點(diǎn)，直線QA1，QA2分別交x軸于點(diǎn)S，T，證明：|OS|•|OT|為定值，并求出該定值；
（3）在橢圓C上，是否存在點(diǎn)M（m，n），使得直線l：mx+ny=2與圓O：x2+y2=
16
7
相交于不同的兩點(diǎn)A、B，且△OAB的面積最大？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)及對(duì)應(yīng)的△OAB的面積；若不存在，請(qǐng)說明理由．

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