【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,已知圓: 和圓: .
(1)若直線過點(diǎn),且被圓截得的弦長為,求直線的方程;
(2)設(shè)為平面直角坐標(biāo)系上的點(diǎn),滿足:存在過點(diǎn)的無窮多對(duì)相互垂直的直線和,它們分別與圓和相交,且直線被圓截得的弦長與直線被圓截得的弦長相等,試求所有滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo).
【答案】(1)直線的方程為或;(2)點(diǎn)的坐標(biāo)為或.
【解析】試題分析:(1)因?yàn)橹本過點(diǎn),故可以設(shè)出直線的點(diǎn)斜式方程,又由直線被圓截得的弦長為根據(jù)半弦長、半徑、弦心距滿足勾股定理,我們可以求出弦心距, 即圓心到直線的距離,得到一個(gè)關(guān)于直線斜率的方程, 解方程求出值, 代入即得直線的方程;(2)與(1)相同,我們可以設(shè)出過點(diǎn)的直線與的點(diǎn)斜式方程,由于兩直線斜率為,且直線被圓截得的弦長與直線被圓截得的弦長相等,故我們可以得到一個(gè)關(guān)于直線斜率的方程,解方程求出值,代入即得直線與的方程.
試題解析:(1)由于直線與圓不相交;
∴直線的斜率存在,設(shè)方程為: ,
圓的圓心到直線的距離為,∵被截得的弦長為,
∴從而即,
∴直線的方程為:
(2)設(shè)點(diǎn)滿足條件,
由題意分析可得直線的斜率均存在且不為0,
不妨設(shè)直線的方程為,
則直線的方程為: ,
∵和的半徑相等,及直線被圓截得的弦長與直線被圓截得的弦長相等,
∴的圓心到直線的距離和圓的圓心到直線的距離相等,
即,
整理得,
∴,
即或,
因的取值有無窮多個(gè),所以或,
解得或這樣的點(diǎn)只可能是點(diǎn)或點(diǎn).
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【題目】已知函數(shù)f(x)=2acos2x+2 bsinxcosx,且f(0)=2,f( )= +1.
(1)求f(x)的最大值及單調(diào)遞減區(qū)間;
(2)若α≠β,α,β∈(0,π),且f(α)=f(β),求tan(α+β)的值.
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【題目】已知f(x)=﹣x3+ax,其中a∈R,g(x)=﹣ x ,且f(x)<g(x)在(0,1]上恒成立.求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
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【題目】如圖,某城市有一塊半徑為40m的半圓形(以O為圓心,AB為直徑)綠化區(qū)域,現(xiàn)計(jì)劃對(duì)其進(jìn)行改建.在AB的延長線上取點(diǎn)D,使OD=80m,在半圓上選定一點(diǎn)C,改建后的綠化區(qū)域由扇形區(qū)域AOC和三角形區(qū)域COD組成,其面積為S m2. 設(shè)∠AOC=x rad.
(1)寫出S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式S(x),并指出x的取值范圍;
(2)張強(qiáng)同學(xué)說:當(dāng)∠AOC=時(shí),改建后的綠化區(qū)域面積S最大.張強(qiáng)同學(xué)的說法正確嗎?若不正確,請(qǐng)求出改建后的綠化區(qū)域面積S最大值.
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【題目】已知二次函數(shù) f (x) = x 2 + x,若不等式 f (-x) + f (x)≤2 | x | 的解集為C. (1)求集合C (2)若方程 f (a x)-a x + 1 = 5(a > 0,a≠1)在 C上有解,求實(shí)數(shù) a 的取值范圍; (3)記 f (x) 在C 上的值域?yàn)?/span> A,若 g(x) = x 3-3tx + ,x∈[0,1] 的值域?yàn)?/span>B,且 A B,求實(shí)數(shù) t 的取值范圍.
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【題目】已知關(guān)于x的函數(shù)y= (t∈R)的定義域?yàn)镈,存在區(qū)間[a,b]D,f(x)的值域也是[a,b].當(dāng)t變化時(shí),b﹣a的最大值= .
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【題目】已知函數(shù)f(x)=2x﹣ .
(1)若f(x)=2,求x的值;
(2)若2tf(2t)+mf(t)≥0對(duì)于t∈[1,2]恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
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【題目】已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0,|φ|< )的最小正周期為2 π,最小值為﹣2,且當(dāng)x= 時(shí),函數(shù)取得最大值4. (I)求函數(shù) f(x)的解析式;
(Ⅱ)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;
(Ⅲ)若當(dāng)x∈[ , ]時(shí),方程f(x)=m+1有解,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
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【題目】“a≥3 ”是“直線l:2ax﹣y+2a2=0(a>0)與雙曲線C: ﹣ =1的右支無交點(diǎn)”的( )
A.充分不必要條件
B.必要不充分條件
C.充要條件
D.既不充分也不必要條件
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