【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,點F(﹣1,0),過直線l:x=﹣2右側(cè)的動點P作PA⊥l于點A,∠APF的平分線交x軸于點B,|PA|= |BF|.
(1)求動點P的軌跡C的方程;
(2)過點F的直線q交曲線C于M,N,試問:x軸正半軸上是否存在點E,直線EM,EN分別交直線l于R,S兩點,使∠RFS為直角?若存在,求出點E的坐標(biāo),若不存在,請說明理由.
【答案】
(1)解:設(shè)P(x,y),由平面幾何知識得:
= ,即 = ,
化簡,得:x2+2y2=2,
∴動點P的軌跡C的方程為x2+2y2=2(x ).
(2)解:假設(shè)滿足條件的點E(n,0)(n>0)存在,
設(shè)直線q的方程為x=my﹣1,
M(x1,y1),N(x2,y2),R(﹣2,y3),S(﹣2,y4),
聯(lián)立 ,得:(m2+2)y2﹣2my﹣1=0,
y1+y2= ,y1y2=﹣ ,
=﹣ +1= ,
=﹣ ,
由條件知 = ,y3=﹣ ,
同理 ,
=﹣y3,kSF=﹣y4,
由于∠RFS為直角,∴y3y4=﹣1,即(2+n2)y1y2=﹣[x1x2+n(x1+x2)+n2],
(2+n)2 = + +n2,
∴(n2﹣2)(m2+1)=0,解得n= ,
∴滿足條件的點E存在,其坐標(biāo)為( ,0).
【解析】(1)設(shè)P(x,y),由平面幾何知識得 = ,由此能求出動點P的軌跡C的方程.(2)假設(shè)滿足條件的點E(n,0)(n>0)存在,設(shè)直線q的方程為x=my﹣1,聯(lián)立 ,得:(m2+2)y2﹣2my﹣1=0,由此利用韋達(dá)定理、直線方程、橢圓性質(zhì),結(jié)合已知條件能求出滿足條件的點E存在,其坐標(biāo)為( ,0).
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【題目】下列幾個命題:
①函數(shù)是偶函數(shù),但不是奇函數(shù);
②方程的有一個正實根,一個負(fù)實根,;
③是定義在上的奇函數(shù),當(dāng)時,,則 時,
④函數(shù)的值域是.
其中正確命題的序號是_____(把所有正確命題的序號都寫上).
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【題目】已知曲線C1的參數(shù)方程為 (為參數(shù)).在以坐標(biāo)原點為極點,軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中,曲線C2: . (Ⅰ)求曲線C1的普通方程和C2的直角坐標(biāo)方程;
(Ⅱ)若C1與C2相交于A、B兩點,設(shè)點F(1,0),求 的值.
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【題目】中石化集團(tuán)獲得了某地深海油田區(qū)塊的開采權(quán),集團(tuán)在該地區(qū)隨機初步勘探了部分兒口井,取得了地質(zhì)資料.進(jìn)入全面勘探時期后,集團(tuán)按網(wǎng)絡(luò)點來布置井位進(jìn)行全面勘探.由于勘探一口井的費用很高,如果新設(shè)計的井位與原有井位重合或接近,便利用舊井的地質(zhì)資料,不必打這口新井,以節(jié)約勘探費用.勘探初期數(shù)據(jù)資料見如表:
井號I | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
坐標(biāo)(x,y)(km) | (2,30) | (4,40) | (5,60) | (6,50) | (8,70) | (1,y) |
鉆探深度(km) | 2 | 4 | 5 | 6 | 8 | 10 |
出油量(L) | 40 | 70 | 110 | 90 | 160 | 205 |
(1)1~6號舊井位置線性分布,借助前5組數(shù)據(jù)求得回歸直線方程為y=6.5x+a,求a,并估計y的預(yù)報值;
(2)現(xiàn)準(zhǔn)備勘探新井7(1,25),若通過1、3、5、7號井計算出的 的值( 精確到0.01)相比于(1)中b,a的值之差不超過10%,則使用位置最接近的已有舊井6(1,y),否則在新位置打開,請判斷可否使用舊井? (參考公式和計算結(jié)果: )
(3)設(shè)出油量與勘探深度的比值k不低于20的勘探并稱為優(yōu)質(zhì)井,那么在原有井號1~6的出油量不低于50L的井中任意勘探3口井,求恰好2口是優(yōu)質(zhì)井的概率.
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【題目】我國古代的天文學(xué)和數(shù)學(xué)著作《周髀算經(jīng)》中記載:一年有二十四個節(jié)氣,每個節(jié)氣晷(guǐ)長損益相同(晷是按照日影測定時刻的儀器,晷長即為所測量影子的長度).二十四節(jié)氣及晷長變化如圖所示,相鄰兩個節(jié)氣晷長的變化量相同,周而復(fù)始.若冬至晷長一丈三尺五寸,夏至晷長一尺五寸(一丈等于十尺,一尺等于十寸),則夏至之后的那個節(jié)氣(小暑)晷長是( )
A.五寸
B.二尺五寸
C.三尺五寸
D.四尺五寸
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【題目】已知橢圓 =1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1 , F2 , 過F2作一條直線(不與x軸垂直)與橢圓交于A,B兩點,如果△ABF1恰好為等腰直角三角形,該直線的斜率為( )
A.±1
B.±2
C.
D.
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【題目】已知過拋物線E:x2=2py(p>0)焦點F且傾斜角的60°直線l與拋物線E交于點M,N,△OMN的面積為4.
(1)求拋物線E的方程;
(2)設(shè)P是直線y=﹣2上的一個動點,過P作拋物線E的切線,切點分別為A、B,直線AB與直線OP、y軸的交點分別為Q、R,點C、D是以R為圓心、RQ為半徑的圓上任意兩點,求∠CPD最大時點P的坐標(biāo).
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【題目】某汽車的使用年數(shù)x與所支出的維修費用y的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如表:
使用年數(shù)x(單位:年) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
維修總費用y(單位:萬元) | 0.5 | 1.2 | 2.2 | 3.3 | 4.5 |
根據(jù)上表可得y關(guān)于x的線性回歸方程 = x﹣0.69,若該汽車維修總費用超過10萬元就不再維修,直接報廢,據(jù)此模型預(yù)測該汽車最多可使用( )
A.8年
B.9年
C.10年
D.11年
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【題目】已知函數(shù)f(x)=aln(x+1)﹣x2在區(qū)間(0,1)內(nèi)任取兩個實數(shù)p,q,且p≠q,不等式 >1恒成立,則實數(shù)a的取值范圍為( )
A.[15,+∞)
B.(﹣∞,15]
C.(12,30]
D.(﹣12,15]
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