【題目】已知函數(shù) 為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).
(1)求曲線 處的切線方程;
(2)關(guān)于 的不等式 上恒成立,求實(shí)數(shù) 的值;
(3)關(guān)于 的方程 有兩個(gè)實(shí)根 ,求證:

【答案】
(1)

解:對(duì)函數(shù) 求導(dǎo)得 ,

,

,

∴曲線 處的切線方程為 ,即 ;


(2)

,其中 ,

由題意知 上恒成立,下求函數(shù) 的最小值,

對(duì) 求導(dǎo)得

,得 ,

當(dāng) 變化時(shí), 變化情況列表如下:

-

0

+

極小值

,

,

,則 ,

,得

當(dāng) 變化時(shí), 變化情況列表如下:

1

+

0

-

極大值

,

當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)取等號(hào),

,從而得到 ;


(3)

先證

,則

,得

當(dāng) 變化時(shí), 變化情況列表如下:

-

0

+

極小值

,

恒成立,即

記直線 分別與 交于 ,

不妨設(shè) ,則 ,

從而 ,當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)取等號(hào),

由(2)知, ,則

從而 ,當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)取等號(hào),

,

因等號(hào)成立的條件不能同時(shí)滿足,故


【解析】(1)利用導(dǎo)數(shù)求切線方程;(2)設(shè) ,將題目轉(zhuǎn)化為g(x)≥0在(0,+∞)上恒成立,然后討論g(x)的單調(diào)性,表示出其最小值,其最小值大于等于0即可;(3)先證 ,設(shè) ,根據(jù)h(x)的單調(diào)性求出最小值,得h(x)恒大于零,即 。記直線 分別與 交于 ,令 ,則 ,得 ,因等號(hào)成立的條件不能同時(shí)滿足,故
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的相關(guān)知識(shí),掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系: 在某個(gè)區(qū)間內(nèi),(1)如果,那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增;(2)如果,那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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(1)寫出所有個(gè)位數(shù)字是5的“三位遞增數(shù)” ;
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A.
B.
C.
D.

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A. ﹣67
B. ﹣67
C. ﹣68
D. ﹣68

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