Question

已知斜三棱柱的各棱長均為2， 側棱與底面所成角為，且側面底面.

（1）證明：點在平面上的射影為的中點；
（2）求二面角的大小；
（3）求點到平面的距離.

Answer 1

（1）見解析  （2）      （3）

【錯解分析】對于立體幾何的角和距離，一定要很好的理解“作，證，”三個字
【正解】解：（1）證明：過B₁點作B₁O⊥BA�！邆让鍭BB₁A₁⊥底面ABC

∴A₁O⊥面ABC ∴∠B₁BA是側面BB₁與底面ABC傾斜角∴∠B₁BO= 
在Rt△B₁OB中，BB₁=2，∴BO=BB₁=1
又∵BB₁=AB，∴BO=AB ∴O是AB的中點，
即點B₁在平面ABC上的射影O為AB的中點.
（2）連接AB₁過點O作OM⊥AB₁，連線CM，OC，
∵OC⊥AB，平面ABC⊥平面AA₁BB₁∴OC⊥平面AABB.∴OM是斜線CM在平面AA₁B₁B的射影 ∵OM⊥AB₁∴AB₁⊥CM ∴∠OMC是二面角C—AB₁—B的平面角
在Rt△OCM中，OC=，OM=
∴∠OMC=∴二面角C—AB₁—B的大小為
（3）過點O作ON⊥CM，∵AB₁⊥平面OCM，∴AB₁⊥ON
∴ON⊥平面AB₁C�！郞N是O點到平面AB₁C的距離

連接BC₁與B₁C相交于點H，則H是BC₁的中點,∴B與C₁到平面ACB₁的相導。
又∵O是AB的中點 ∴B到平面AB₁C的距離是O到平面AB₁C距離的2倍
∴點到平面AB₁C距離為.