(2009•普陀區(qū)二模)已知等軸雙曲線C:x2-y2=a2(a>0)的右焦點(diǎn)為F,O為坐標(biāo)原點(diǎn). 過F作一條漸近線的垂線FP且垂足為P,|
OP
| =
2

(1)求等軸雙曲線C的方程;
(2)假設(shè)過點(diǎn)F且方向向量為
d
=(1,2)
的直線l交雙曲線C于A、B兩點(diǎn),求
OA
OB
的值;
(3)假設(shè)過點(diǎn)F的動(dòng)直線l與雙曲線C交于M、N兩點(diǎn),試問:在x軸上是否存在定點(diǎn)P,使得
PM
PN
為常數(shù).若存在,求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,試說明理由.
分析:(1)根據(jù)雙曲線為等軸雙曲線,可求出漸近線方程,再根據(jù)P點(diǎn)為過F作一條漸近線的垂線FP的垂足,以及|
OP
| =
2
,可求出雙曲線中c的值,借助雙曲線中a,b,c的關(guān)系,得到雙曲線方程.
(2)根據(jù)直線l的方向向量以及f點(diǎn)的坐標(biāo),可得直線l的方程,與雙曲線方程聯(lián)立,解出x1+x2,x1x2的值,代入
OA
OB
中,即可求出
OA
OB
的值.
(3)先假設(shè)存在定點(diǎn)P,使得
PM
PN
為常數(shù),設(shè)出直線l的方程,與雙曲線方程聯(lián)立,解x1+x2,x1x2,用含k的式子表示,再代入
PM
PN
中,若
PM
PN
為常數(shù),則結(jié)果與k無關(guān),求此時(shí)m的值即可.
解答:解:(1)設(shè)右焦點(diǎn)坐標(biāo)為F(c,0),(c>0),
∵雙曲線為等軸雙曲線,∴漸近線必為y=±x
由對(duì)稱性可知,右焦點(diǎn)F到兩條漸近線距離相等,且∠POF=
π
4

∴△OPF為等腰直角三角形,則由|
OP
|=
2
⇒|
OF
|=c=2
又∵等軸雙曲線中,c2=2a2⇒a2=2
∴等軸雙曲線C的方程為x2-y2=2
(2)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2)為雙曲線C與直線l的兩個(gè)交點(diǎn)
∵F(2,0),直線l的方向向量為
d
=(1,2),
∴直線l的方程為
x-2
1
=
y
2
,即y=2(x-2)
代入雙曲線C的方程,可得,x2-4(x-2)2=2⇒3x2-16x+18=0
∴x1+x2=
16
3
,x1x2=6,
OA
OB
=x1x2+y1y2=x1x2+(x1-2)(x2-2)=5x1x2-8(x1+x2)+16=
10
3

(3)假設(shè)存在定點(diǎn)P,使得
PM
PN
為常數(shù),
其中,M(x1,y1),N(x2,y2)為雙曲線C與直線l的兩個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo),
①當(dāng)直線l與x軸不垂直是,設(shè)直線l的方程為y=k(x-2),
代入雙曲線C的方程,可得(1-k2)x2+4k2x-(4k2+2)=0
由題意可知,k=±1,則有x1+x2=
4k2
k2-1
,x1x2=
4k2+2
k2-1

PM
PN
=(x1-m)(x2-m)+k2(x1-2)(x2-2)
=(4k2+1)x1x2-(2k2+m)(x1+x2)+4k2+m2
=
(k2+1)(4k2+2)
k2-1
-
4k2(2k2+m)
k2-1
+4k2+m2
=
2(1-2m)k2+2
k2-1
+m2=
4(1-m)
k2-1
+m2+2(1-2m)
要使
PM
PN
是與k無關(guān)的常數(shù),當(dāng)且僅當(dāng)m=1,此時(shí),
PM
PN
=-1
②當(dāng)直線l與x軸垂直時(shí),可得點(diǎn)M(2,
2
),N(2,-
2

若m=1,
PM
PN
=-1亦為常數(shù)
綜上可知,在x軸上是否存在定點(diǎn)P(1,0),使得
PM
PN
=-1為常數(shù).
點(diǎn)評(píng):本題考查了等軸雙曲線的方程的求法,以及直線與雙曲線位置關(guān)系的應(yīng)用.
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2x+my=5
nx-3y=2
的增廣矩陣經(jīng)過變換,最后得到的矩陣為
103
011
,則x+y=
4
4

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1
4
.對(duì)任意n∈N*,向量
a
=(1,an)
b
=(an+1,
1
2
)
滿足
a
b
,求
lim
n→∞
Sn

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2x+my=5
nx-3y=2
 的增廣矩陣經(jīng)過變換,最后得到的矩陣為
10  3
01  1
,
m
n
=
-1
5
3
-1
5
3

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2
)
n
=
2
an+bn
(an、bn∈Z).
(1)求a5+b5的值;
(2)求證:數(shù)列{bn}各項(xiàng)均為奇數(shù).

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