Question

 

設(shè)拋物線的方程為，為直線上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作拋物線的兩條切線，切點(diǎn)分別為,.

（1）當(dāng)的坐標(biāo)為時(shí)，求過(guò)三點(diǎn)的圓的方程，并判斷直線與此圓的位置關(guān)系；

（2）求證：直線恒過(guò)定點(diǎn).

 

 

Answer 1

【答案】

 設(shè)拋物線的方程為，為直線上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作拋物線的兩條切線，切點(diǎn)分別為,.

（1）當(dāng)的坐標(biāo)為時(shí)，求過(guò)三點(diǎn)的圓的方程，并判斷直線與此圓的位置關(guān)系；

（2）求證：直線恒過(guò)定點(diǎn)；

解：(1)當(dāng)的坐標(biāo)為時(shí)，設(shè)過(guò)點(diǎn)的切線方程為，代入，整理得，

令，解得，

代入方程得，故得，       ．．．．．．．．．．．．．．．．．2分

因?yàn)?sub>到的中點(diǎn)的距離為，

從而過(guò)三點(diǎn)的圓的方程為．

易知此圓與直線相切.              ．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分

（2）證法一：設(shè)切點(diǎn)分別為,,過(guò)拋物線上點(diǎn)的切線方程為，代入，整理得    

，又因?yàn)?sub>，所以．．．．．．．．．．．．．．．．6分

從而過(guò)拋物線上點(diǎn)的切線方程為即

又切線過(guò)點(diǎn)，所以得    ①   即．．．．8分

同理可得過(guò)點(diǎn)的切線為，

又切線過(guò)點(diǎn)，所以得    ②  ．．．．10分

即．．．．．．．．．．．．．．．．．6分

即點(diǎn)，均滿(mǎn)足即，故直線的方程為     ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分

又為直線上任意一點(diǎn)，故對(duì)任意成立，所以，從而直線恒過(guò)定點(diǎn)       .．．．．．．．．．．．．．．．．．14分

證法二：設(shè)過(guò)的拋物線的切線方程為，代入，消去，得    

即：．．．．．．．．．．．．．．．．．6分

從而，此時(shí)，

所以切點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，．．．．．．．．．．．．．．．．．8分

因?yàn)?sub>，，

，

所以的中點(diǎn)坐標(biāo)為.．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．11分

故直線的方程為，即.．．．．．．．．．．12分

又為直線上任意一點(diǎn)，故對(duì)任意成立，所以，從而直線恒過(guò)定點(diǎn)       .．．．．．．．．．．．．．．．．．14分

證法三：由已知得，求導(dǎo)得，切點(diǎn)分別為,，故過(guò)點(diǎn)的切線斜率為，從而切線方程為即

．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分

又切線過(guò)點(diǎn)，所以得    ①   即．．．．．．．．８分

同理可得過(guò)點(diǎn)的切線為，

又切線過(guò)點(diǎn)，所以得    ②  即．．．．．．．．10分

即點(diǎn)，均滿(mǎn)足即，故直線的方程為                                  ．．．．．．．．．．．．．．．．．12分

又為直線上任意一點(diǎn)，故對(duì)任意成立，所以，從而直線恒過(guò)定點(diǎn)       .．．．．．．．．．．．．．．．．．14分