Question

已知集合A={x|x²-6x+8＜0}，B={x|m＜x＜4m}，
（Ⅰ）若A?B，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．
（Ⅱ）是否存在m使得A∪B=A？若有請(qǐng)求出m的范圍，若無(wú)則說(shuō)明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵A={x|x²-6x+8＜0}={x|2＜x＜4}，B={x|m＜x＜4m}，A?B，
∴m＞0，且 m≤2，4≤4m，2個(gè)等號(hào)不能同時(shí)成立，故 1≤m≤2，
∴實(shí)數(shù)m的取值范圍[1，2]．
（Ⅱ）若A∪B=A，則 B⊆A，當(dāng)B=∅時(shí)，顯然滿足 B⊆A，此時(shí)，m≤0．
當(dāng)B≠∅時(shí)，由 B⊆A可得2≤m，且4m≤4，解得m∈∅，
綜上可得，存在m≤0，使得A∪B=A成立，此時(shí)，實(shí)數(shù)m的取值范圍（-∞，0]．
分析：（Ⅰ）先化簡(jiǎn)集合A，利用A?B，畫(huà)出數(shù)軸，考查端點(diǎn)值的大小關(guān)系，解出實(shí)數(shù)m的取值范圍．
（Ⅱ）A∪B=A等價(jià)于B⊆A，分B=∅和B≠∅兩種情況，分別求出 m值的范圍，再取并集，即得所求．
點(diǎn)評(píng)：本題考查一元二次不等式的解法，集合間關(guān)系的判斷和應(yīng)用，當(dāng) B⊆A時(shí)，利用端點(diǎn)的大小關(guān)系解出 m值的范圍．