Question

已知點集M={（x，y）|y=f（x）}，若對任意點P₁（x₁，y₁）∈M，存在點P₂（x₂，y₂）∈M，使得

OP1

•

OP2

=0成立，則稱集合M是“幸福點集”．給出下列四個集合：
①M={（x，y）|y=

1

x

}；          
②M={（x，y）|y=1+cos2x}；
③M={（x，y）|y=lnx}；         
④M={（x，y）|y=e^x-1-2}．
其中是“幸福點集”的序號是

 

（填出所有滿足條件的集合序號）

Answer 1

考點：平面向量數(shù)量積的運算

專題：平面向量及應(yīng)用

分析：對于①利用漸近線互相垂直，判斷其正誤即可．對于②、③、④通過函數(shù)的定義域與函數(shù)的值域的范圍，畫出函數(shù)的圖象，利用“幸福點集”的定義，即可判斷正誤；

解答： 解：對于①：y=

1

x

是以x，y軸為漸近線的雙曲線，漸近線的夾角是90°，
所以在同一支上，任意（x₁，y₁）∈M，不存在（x₂，y₂）∈M，滿足好集合的定義；
在另一支上對任意（x₁，y₁）∈M，不存在（x₂，y₂）∈M，
使得x₁x₂+y₁y₂=0成立，
所以不滿足“幸福點集”的定義，不是“幸福點集”．
對于②：M={（x，y）|y=cos2x+1}，對于任意（x₁，y₁）∈M，存在（x₂，y₂）∈M，使得x₁x₂+y₁y₂=0成立，例如（0，2）、（

π

4

，0），滿足“幸福點集”的定義，所以M是“幸福點集”；正確．
對于③M={（x，y）|y=lnx}，取點（1，0），曲線上不存在另外的點，使得兩點與原點的連線互相垂直，所以不是“幸福點集”；
對于④M={（x，y）|y=e^x-1-2}，如下圖藍線的直角始終存在，對于任意（x₁，y₁）∈M，存在（x₂，y₂）∈M，使得x₁x₂+y₁y₂=0成立，滿足“幸福點集”的定義，所以是“幸福點集”；正確．

所以②④正確．
故答案為：②④

點評：本題屬于新定義題目，準確理解“幸福點集”的概念是解題的關(guān)鍵，本題屬于中檔題．