Question

【題目】如圖，在多面體中，，四邊形和四邊形是兩個全等的等腰梯形.

（1）求證：四邊形為矩形；

（2）若平面平面，，，，求平面與平面所成二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）

【解析】

（1）由梯形性質(zhì)可得四邊形為平行四邊形，即可得.又可證明平面，而且，即可得，從而四邊形為矩形.

（2）分別取的中點，可得，，，因而以為坐標(biāo)原點，建立空間直角坐標(biāo)系，寫出各個點的坐標(biāo)，并分別求得平面和平面的法向量，即可由空間向量的數(shù)量積求得兩個平面所成二面角的余弦值.

（1）證明：分別取的中點，如下圖所示：

∵四邊形和四邊形是兩個全等的等腰梯形

，

∴四邊形為平行四邊形

，為的中點

，同理

為的中點，為的中點

，且

四點共面，四邊形以為底的梯形

，且相交

平面

平面

又

∴四邊形為矩形.

（2）分別取的中點，則，，

由，可知，

同理，

又由平面平面，平面平面，平面，所以平面

又平面，

所以，

則以為坐標(biāo)原點，方向分別為軸的正方向，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，

則，，，，，，

設(shè)平面的法向量為，

由，

則，

令，代入可求得，所以，

設(shè)平面的法向量為，

由，，

則

令，代入可求得，所以，

則

由圖可知平面與平面所成二面角為銳二面角.

故.