Question

數(shù)列{a_n}的前W項(xiàng)和為S_n，且S_n=

n2+3n

2

{a_n}數(shù)列{c_n}，滿(mǎn)足c_n=

an，n為奇數(shù) 2n ，n為偶數(shù)

，
（I）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式，并求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和{T_n}；
（II）張三同學(xué)利用第（I）問(wèn)中的T_n設(shè)計(jì)了一個(gè)程序框圖（如圖），但李四同學(xué)認(rèn)為這個(gè)程序如果被執(zhí)行將會(huì)是一個(gè)“死循環(huán)”（即程序會(huì)永遠(yuǎn)循環(huán)下去，而無(wú)法結(jié)束）．你是否同意李四同學(xué)的觀點(diǎn)？請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（I）、根據(jù)題中數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，的公式便可推導(dǎo)出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式，根據(jù)給出的c_n的通項(xiàng)公式，分別討論當(dāng)n為奇數(shù)和偶數(shù)時(shí)數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和{T_n}；
（II）分別討論當(dāng)n為偶數(shù)和奇數(shù)時(shí)Tn-P的最終結(jié)果為2011，故李四的說(shuō)法正確，該程序會(huì)是一個(gè)死循環(huán)．

解答：解：（I）當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁=

1+3

2

=2，
當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn-S_n-1=

1

2

（n²+3n-（n-1）²-3（n-1）=n+1，
∴an=n+1（n），當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，T_n=（a₁+a₃+…+a_n）+（2²+2⁴+…+2ⁿ）=

n2+2n

4

+

4

3

（2ⁿ-1），
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，T_n=（a₁+a₃+…+a_n）+（2²+2⁴+…+2^n-1）=

n2+4n+3

4

+

4

3

（2^n-1-1），
∴Tn=

n2+2n 4 + 4 3 (2n-1)   n為偶數(shù) n2+4n+3 4 + 4 3 (2n-1-1)    n為奇數(shù)

；
（II）記D_n=T_n-P，則當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，Dn=

n2+2n

4

+

4

3

（2ⁿ-1）-

n2

4

-24n=

4

3

（2ⁿ-1）-

47n

2

，
∴D_n+2-D_n=

4

3

（2ⁿ⁺¹-1）-

47(n+2)

2

-

4

3

（2ⁿ-1）-

47n

2

=2ⁿ⁺²-47，
∴從第四項(xiàng)開(kāi)始，數(shù)列{D_n}的偶數(shù)項(xiàng)開(kāi)始遞增，
而D₂，D₄，…，D₁₀均小于2010，D₁₂＞2010，即n偶數(shù)時(shí)，Dn=2011，
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，Dn=

n2+4n+3

4

+

4

3

（2^n-1-1）-

n2

4

-24n=

4

3

（2^n-1-1）-23n+

3

4

，
同理D_n+2-D_n=2ⁿ⁺¹-46，
∴從第五項(xiàng)開(kāi)始，數(shù)列{D_n}的奇數(shù)項(xiàng)開(kāi)始遞增，
而D₁，D₃，…，D₁₁均小于2010，D₁₃＞2010，即n偶數(shù)時(shí)，Dn=2011，
故李四的說(shuō)法正確．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了數(shù)列的基本知識(shí)和前n項(xiàng)和的求法以及循環(huán)結(jié)構(gòu)，考查了學(xué)生的計(jì)算能力和對(duì)數(shù)列、循環(huán)結(jié)構(gòu)的綜合掌握，解題時(shí)注意分類(lèi)討論思想和轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用，屬于中檔題．