Question

【題目】已知函數(shù)，其中，為自然對數(shù)的底數(shù).

（1）若函數(shù)既有極大值又有極小值，試求實數(shù)的取值范圍；

（2）設(shè)，且，是函數(shù)的兩個零點，求證：.

Answer 1

【答案】（1），，；（2）證明見解析.

【解析】

（1）求出，令，求出方程有兩個不相等的根所滿足的條件，即可求出結(jié)論；

（2）根據(jù)已知條件，求出單調(diào)區(qū)間，得到是極值點，不妨設(shè)，將問題轉(zhuǎn)化為證明，即證，結(jié)合單調(diào)性，只需證，再由，即證，構(gòu)造函數(shù)，只需證明，即可得證結(jié)論.

（1），

既有極大值又有極小值，

有兩個不相等的實數(shù)根，即且.

由且，得，，；

（2）證明：由（1）知，當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，

在上單調(diào)遞減.又，

令，則.

，

在區(qū)間上單調(diào)遞增，

..

，是函數(shù)的兩個零點，

不妨設(shè)，，

，，且在上單調(diào)遞增，

，即.

由（1）可知，.