【題目】正方形的棱長為1,點分別是棱的中點.
(Ⅰ)求二面角的余弦值;
(Ⅱ)以為底面作正三棱柱,若此三棱柱另一底面三個頂點也都在該正方體的表面上,求這個正三棱柱的高.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ) .
【解析】試題分析:(Ⅰ)以為原點,以的方向分別為軸, 軸的正方向,建立空間直角坐標(biāo)系,分別求出平面的法向量和平面的法向量,從而可求出二面角的余弦值;(Ⅱ)連接,分別取他們中點記為,分別連接,根據(jù)三角形中位線的性質(zhì),可推出且,進(jìn)而推出為三棱柱的高,結(jié)合正方形的棱長為1,即可求值.
試題解析:(Ⅰ)以為原點,以的方向分別為軸, 軸的正方向,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則點, , , .
∴,.
設(shè)平面的法向量為.
∴即,解得.
平面的法向量為
∴.
由圖可知,二面角為鈍角,故余弦值為.
(Ⅱ)連接,分別取他們中點記為,分別連接
是的中位線,
且, 且.
且.
同理可證且, 且,此時即為三棱柱高
.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐P-ABCD中,AB//CD,且
(1)證明:平面PAB⊥平面PAD;
(2)若PA=PD=AB=DC, ,且四棱錐P-ABCD的體積為,求該四棱錐的側(cè)面積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)若m=0,求函數(shù)f(x)的定義域;
(2)若函數(shù)f(x)的值域為R,求實數(shù)m的取值范圍;
(3)若函數(shù)f(x)在區(qū)間上是增函數(shù),求實數(shù)m的取值范圍.
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【題目】執(zhí)行如圖所示的程序框圖,則“3<m<5”是“輸出i的值為5”的( )
A.充分不必要條件
B.必要不充分條件
C.充要條件
D.既不充分也不必要條件
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【題目】某幾何體的三視圖如圖所示,記A為此幾何體所有棱的長度構(gòu)成的集合,則( )
A.3∈A
B.5∈A
C.2 ∈A
D.4 ∈A
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【題目】某家庭進(jìn)行理財投資,根據(jù)長期收益率市場預(yù)測,投資類產(chǎn)品的收益與投資額成正比,投資類產(chǎn)品的收益與投資額的算術(shù)平方根成正比.已知投資1萬元時兩類產(chǎn)品的收益分別為0.125萬元和0.5萬元.
(1)分別寫出兩類產(chǎn)品的收益與投資額的函數(shù)關(guān)系;
(2)該家庭有20萬元資金,全部用于理財投資,問:怎么分配資金能使投資獲得最大收益,其最大收益是多少萬元?
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【題目】已知函數(shù)
(1)求函數(shù)的值域;
(2)若時,函數(shù)的最小值為,求的值和函數(shù) 的最大值.
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【題目】(本小題滿分7分)選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在平面直角坐標(biāo)系中,直線的參數(shù)方程為為參數(shù)),P、Q分別為直線與x軸、y軸的交點,線段PQ的中點為M.
(Ⅰ)求直線的直角坐標(biāo)方程;
(Ⅱ)以坐標(biāo)原點O為極點,軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,求點M的極坐標(biāo)和直線OM的極坐標(biāo)方程.
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【題目】定義在上的函數(shù),如果滿足:對任意,存在常數(shù),都有成立,則稱是上的有界函數(shù),其中稱為函數(shù)的一個上界.已知函數(shù), .
(1)若函數(shù)為奇函數(shù),求實數(shù)的值;
(2)在(1)的條件下,求函數(shù)在區(qū)間上的所有上界構(gòu)成的集合;
(3)若函數(shù)在上是以3為上界的有界函數(shù),求實數(shù)的取值范圍.
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