【題目】如圖,已知正方形和矩形所在的平面互相垂直,,,是線段的中點(diǎn).
(1)求證平面;
(2)求二面角的大;
(3)試在線段上一點(diǎn),使得與所成的角是60°.
【答案】(1)證明見(jiàn)解析;(2)60°;(3)點(diǎn)為線段的中點(diǎn).
【解析】
(1)根據(jù)正方形和矩形所在的平面互相垂直,建立空間直角坐標(biāo)系,求得的坐標(biāo),證明共線即可.
(2)根據(jù)平面,得到為平面的一個(gè)法向量,由,,得到為平面的一個(gè)法向量,然后代入公式求解.
(3)設(shè),求得,的坐標(biāo),代入公式求解.
(1)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系:
設(shè),連接,
則點(diǎn)、的坐標(biāo)分別是、,
∴,
又點(diǎn)、的坐標(biāo)分別是、,
∴,
∴,且與不共線,
∴,
又∵平面,平面,
∴平面.
(2)∵,,,
∴平面,
∴為平面的一個(gè)法向量,
∵,
∴,
得,,
∴為平面的一個(gè)法向量,
∴,
∴,的夾角是60°,
即所求二面角的大小是60°.
(3)設(shè),,,
則,
解得或(舍去),
所以當(dāng)點(diǎn)為線段的中點(diǎn)時(shí),直線與所成的角為60°.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】用分期付款的方式購(gòu)買(mǎi)某家用電器一件,價(jià)格為1 150元,購(gòu)買(mǎi)當(dāng)天先付150元,以后每月這一天還款一次,每次還款數(shù)額相同,20個(gè)月還清,月利率為1%,按復(fù)利計(jì)算.若交付150元后的第一個(gè)月開(kāi)始算分期付款的第一個(gè)月,全部欠款付清后,請(qǐng)問(wèn)買(mǎi)這件家電實(shí)際付款多少元?每月還款多少元?(最后結(jié)果保留4個(gè)有效數(shù)字)
參考數(shù)據(jù):(1+1%)19=1.208,(1+1%)20=1.220,(1+1%)21=1.232.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】2018年8月18日,舉世矚目的第18屆亞運(yùn)會(huì)在印尼首都雅加達(dá)舉行,為了豐富亞運(yùn)會(huì)志愿者的業(yè)余生活,同時(shí)鼓勵(lì)更多的有志青年加入志愿者行列,大會(huì)主辦方?jīng)Q定對(duì)150名志愿者組織一次有關(guān)體育運(yùn)動(dòng)的知識(shí)競(jìng)賽(滿分120分)并計(jì)劃對(duì)成績(jī)前15名的志愿者進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì),現(xiàn)將所有志愿者的競(jìng)賽成績(jī)制成頻率分布直方圖,如圖所示,若第三組與第五組的頻數(shù)之和是第二組的頻數(shù)的3倍,試回答以下問(wèn)題:
(1)求圖中的值;
(2)求志愿者知識(shí)競(jìng)賽的平均成績(jī);
(3)從受獎(jiǎng)勵(lì)的15人中按成績(jī)利用分層抽樣抽取5人,再?gòu)某槿〉?人中,隨機(jī)抽取2人在主會(huì)場(chǎng)服務(wù),求抽取的這2人中其中一人成績(jī)?cè)?/span>分的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】復(fù)旦大學(xué)附屬華山醫(yī)院感染科主任醫(yī)師張文宏在接受媒體采訪時(shí)談到:通過(guò)救治研究發(fā)現(xiàn),目前對(duì)于新冠肺炎最有用的“特效藥”還是免疫力.而人的免疫力與體質(zhì)息息相關(guān),一般來(lái)講,體質(zhì)好,免疫力就強(qiáng).復(fù)學(xué)已有一段時(shí)間,某醫(yī)院到學(xué)校調(diào)查高二學(xué)生的體質(zhì)健康情況,隨機(jī)抽取12名高二學(xué)生進(jìn)行體質(zhì)健康測(cè)試,測(cè)試成績(jī)(百分制)如下:65,78,90,86,52,87,72,86,87,98,88,86.根據(jù)此年齡段學(xué)生體質(zhì)健康標(biāo)準(zhǔn),成績(jī)不低于80的為優(yōu)良.
(1)將頻率視為概率,根據(jù)樣本估計(jì)總體的思想,在該學(xué)校全體高二學(xué)生中任選3人進(jìn)行體質(zhì)健康測(cè)試,求至少有1人成績(jī)是“優(yōu)良”的概率;
(2)從抽取的12人中隨機(jī)選取3人,記表示成績(jī)“優(yōu)良”的人數(shù),求的分布列和期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在用1,2,…,8這八個(gè)數(shù)碼所組成的 全部無(wú)重復(fù)數(shù)字的八位數(shù)中,能被11整除的有______個(gè).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,四邊形ABCD為正方形,QA⊥平面ABCD,PD∥QA,QA=AB=PD.
(1)證明:平面PQC⊥平面DCQ;
(2)求直線DQ與面PQC成角的正弦值
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,已知橢圓的離心率為,右焦點(diǎn)到右準(zhǔn)線的距離為3.(橢圓的右準(zhǔn)線方程為)
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)設(shè)過(guò)的直線與橢圓相交于兩點(diǎn).已知被圓截得的弦長(zhǎng)為,求的面積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知三棱錐的底面為正三角形,頂點(diǎn)在底面上的射影為底面的中心,,分別是棱,的中點(diǎn),且,若側(cè)棱,則三棱錐的外接球的表面積是( )
A. B. C. D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】將四個(gè)編號(hào)為1,2,3,4的相同小球放入編號(hào)為1,2,3,4的四個(gè)盒子中,
(1)若每個(gè)盒子放一個(gè)小球,求有多少種放法;
(2)若每個(gè)盒子放一球,求恰有1個(gè)盒子的號(hào)碼與小球的號(hào)碼相同的放法種數(shù);
(3)求恰有一個(gè)空盒子的放法種數(shù).
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