【題目】如圖，已知三棱錐D－ABC中，二面角A－BC－D的大小為90°，且∠BDC＝90°，∠ABC＝30°，BC＝3，．

（1）求證：AC⊥平面BCD；

（2）二面角B－AC－D為45°，且E為線段BC的中點(diǎn)，求直線AE與平面ACD所成的角的正弦值．

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1））△ABC中,根據(jù)條件利用余弦定理求出AC,根據(jù)勾股定理證明垂直即可（2）以C為原點(diǎn)，CB所在直線為x軸，CA所在直線為y軸，過點(diǎn)C作垂直于平面ABC的直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面ACD的法向量，利用直線與平面所成角公式計(jì)算即可.

（1）△ABC中，由，

解得，從而AC2+BC2＝AB2，∴AC⊥BC；又二面角A-BC-D的大小為90°，即平面BCD⊥平面ABC，

而平面BCD∩平面ABC＝BC，AC平面ABC，故AC⊥平面BCD；

（2）以C為原點(diǎn)，CB所在直線為x軸，CA所在直線為y軸，過點(diǎn)C作垂直于平面ABC的直線為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

故平面ABC的法向量＝(0，0，1)，

設(shè)平面ACD的法向量＝(1，m，n)，由，易知m＝0，

從而＝(1，0，n)，，

解得n＝±1，結(jié)合實(shí)際圖形，可知n取1時(shí)，二面角為135°，應(yīng)舍去，

所以＝(1，0，-1)，

易知，B(3，0，0)，故，則，

設(shè)直線AE與平面ACD所成的角為θ，

則，即直線AE與平面ABC所成的角的正弦值為．

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知數(shù)列{an}中，a1=1，an+1=，（n∈N*）

（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an，

（2）若數(shù)列{bn}滿足bn=（3n﹣1）an，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn，若不等式（﹣1）nλ＜Tn對一切n∈N*恒成立，求λ的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，已知是橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)，的短軸是圓的直徑，直線，過點(diǎn)P且互相垂直，交橢圓于另一點(diǎn)D，交圓于A，B兩點(diǎn)

Ⅰ求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

Ⅱ求面積的最大值．

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【題目】已知以橢圓的焦點(diǎn)和短軸端點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形恰好是面積為4的正方形.

(1)求橢圓的方程：

(2)若是橢圓上的動點(diǎn),求的取值范圍；

(3)直線：與橢圓交于異于橢圓頂點(diǎn)的,兩點(diǎn),為坐標(biāo)原點(diǎn),直線與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn),直線和直線的斜率之積為1,直線與軸交于點(diǎn).若直線,的斜率分別為,試判斷,是否為定值,若是,求出該定值；若不是,說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)在處取得極值．

Ⅰ求實(shí)數(shù)a的值；

Ⅱ若關(guān)于x的方程在上恰有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)b的取值范圍；

Ⅲ證明：參考數(shù)據(jù)：．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，已知梯形中，∥，，矩形平面，且,.

（1）求證：；

（2）求證：∥平面；

（3）求二面角的正切值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，以軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.

（1）求曲線的普通方程與曲線的直角坐標(biāo)方程；

（2）若與交于兩點(diǎn)，點(diǎn)的極坐標(biāo)為，求的值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在正三角形中，、、分別是、、邊上的點(diǎn)，滿足（如圖1）.將△沿折起到的位置，使二面角成直二面角，連結(jié)、（如圖2）

（Ⅰ）求證：⊥平面；

（Ⅱ）求二面角的余弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且對任意的實(shí)數(shù)都有（是自然對數(shù)的底數(shù)），且，若關(guān)于的不等式的解集中恰有兩個(gè)整數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是

A. B. C. D.

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