已知函數(shù)f(x)=aln(x+1)-x2,若在區(qū)間(0,1)內(nèi)任取兩個(gè)不同實(shí)數(shù)m,n,不等式
f(m+1)-f(n+1)
m-n
<1恒成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______.
由于
f(m+1)-f(n+1)
m-n
=
f(m+1)-f(n+1)
(m+1)-(n+1)
,則表示點(diǎn)(m+1,f(m+1)) 與點(diǎn)(n+1,f(n+1))連線的斜率,因?qū)崝?shù)p,q在區(qū)間(0,1)內(nèi),故m+1和n+1在區(qū)間(1,2)內(nèi).
∵不等式
f(m+1)-f(n+1)
m-n
=
f(m+1)-f(n+1)
(m+1)-(n+1)
,恒成立,
∴函數(shù)圖象上在區(qū)間(1,2)內(nèi)任意兩點(diǎn)連線的斜率小于1,
故函數(shù)的導(dǎo)數(shù)小1在(1,2)內(nèi)恒成立.
由函數(shù)的定義域知,x>-1,
∴f′(x)=
a
x+1
-2x<1 在(1,2)內(nèi)恒成立.
即 a<2x2+3x+1在(1,2)內(nèi)恒成立.
由于二次函數(shù)y=2x2+3x+1在[1,2]上是單調(diào)增函數(shù),
故 x=1時(shí),y=2x2+3x+1 在[1,2]上取最小值為6,
∴a≤6,
故答案為:a≤6.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:填空題

已知為非零實(shí)數(shù),若函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱,則       

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:填空題

已知奇函數(shù)f(x)和偶函數(shù)g(x)的定義域都是(-∞,0)∪(0,+∞),且當(dāng)x<0時(shí),f’(x)g(x)+f(x)g’(x)>0.若g(-2)=0,則不等式f(x)g(x)>0的解集是______.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:單選題

定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足:f(x+1)=f(x-1),且當(dāng)0≤x≤1時(shí),f(x)=-8x2+8x,則f(-
2013
2
)
=( 。
A.2B.-1C.-2D.1

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:單選題

如果一個(gè)函數(shù)f(x)滿足:
(1)定義域?yàn)镽;
(2)任意x1,x2∈R,若x1+x2=0,則f(x1)+f(x2)=0;
(3)任意x∈R,若t>0,f(x+t)>f(x).
則f(x)可以是( 。
A.y=-xB.y=3xC.y=x3D.y=log3x

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

已知函數(shù)f(x)=a-
2
2x+1

(1)若f(x)為奇函數(shù),求實(shí)數(shù)a的值;
(2)判斷并證明f(x)的單調(diào)性.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:單選題

下面有四個(gè)結(jié)論:
①偶函數(shù)的圖象一定與y軸相交.
②奇函數(shù)的圖象不一定過原點(diǎn).
③偶函數(shù)若在(0,+∞)上是減函數(shù),則在(-∞,0)上一定是增函數(shù).
④有且只有一個(gè)函數(shù)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù).
其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是( 。
A.1B.2C.3D.4

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:填空題

定義在R上的偶函數(shù)y=f(x)在[0,+∞)上單調(diào)遞減,函數(shù)f(x)的一個(gè)零點(diǎn)為
1
2
,則不等式f(log4x)<0的解集是______.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:單選題

已知函數(shù)y=f(x)+x是偶函數(shù),且f(2)=1,則f(-2)=( 。
A.-1B.1C.-5D.5

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