Question

點(diǎn)A為△BCD所在平面外的一點(diǎn)，點(diǎn)O為點(diǎn)A在平面BCD內(nèi)的射影，若AC⊥BD，AD⊥BC，求證：AB⊥CD．

Answer 1

分析：由已知中點(diǎn)A為△BCD所在平面外的一點(diǎn)，點(diǎn)O為點(diǎn)A在平面BCD內(nèi)的射影，可得AO⊥BC，AO⊥BD，AO⊥CD，進(jìn)而利用線面垂直與線線垂直之間的辯證關(guān)系，我們易得到O為△BCD的垂心，再由線面垂直的判定定理得到CD⊥平面AOB，最后由線面垂直的性質(zhì)得到AB⊥CD．

解答：證明：由已知中點(diǎn)O為點(diǎn)A在平面BCD內(nèi)的射影，
∴AO⊥平面BCD，即AO⊥BC，AO⊥BD，AO⊥CD
∵AC⊥BD，AC∩AO=A
∴BD⊥平面OAC，BD⊥CO，
同理由AD⊥BC可證BC⊥D0，
即O為△BCD的垂心，
∴CD⊥OB，又由OB∩AO=0
∴CD⊥平面AOB
又由AB?平面AOB
∴AB⊥CD

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是直線與平面垂直的性質(zhì)，其中熟練掌握空間直線與平面垂直的判定定理及性質(zhì)定理，是解答本題的關(guān)鍵．