【題目】已知數(shù)列滿足.

（1）證明：數(shù)列為等差數(shù)列；

（2）設(shè)數(shù)列的前n項和為，若，且對任意的正整數(shù)n，都有，求整數(shù)的值；

（3）設(shè)數(shù)列滿足，若，且存在正整數(shù)s，t，使得是整數(shù)，求的最小值.

【答案】（1）證明見解析；（2）2；（3）

【解析】

（1）令中的為，又得一式，將兩式做差變形，利用等差中項進(jìn)行證明；

（2）利用放縮法和裂項相消法在數(shù)列求和中的應(yīng)用進(jìn)行證明．
（3）利用假設(shè)法的應(yīng)用和存在性問題的應(yīng)用求出最小值．

解：（1）因為①

所以時， ②

①-②得，

所以

即

所以數(shù)列為等差數(shù)列；

（2）因為，所以的公差為1，

因為對任意的正整數(shù)，都有，

所以，所以，即，

所以或2，

當(dāng)時，，，，

所以，這與題意矛盾，所以，

當(dāng)時，，

，

，恒成立，

因為，

，

綜上，的值為2.

（3）因為，所以的公差為，

所以，

所以，

由題意，設(shè)存在正整數(shù)s，t，使得，，

則，即，

因為，

所以是偶數(shù)，

所以，

所以，

當(dāng)時，，

所以存在，

綜上，的最小值為.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

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【題目】如圖，在三棱柱ABCA1B1C1中，AB＝AC，A1C⊥BC1，AB1⊥BC1，D，E分別是AB1和BC的中點.

求證：(1)DE∥平面ACC1A1；

(2)AE⊥平面BCC1B1.

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【題目】已知點F是拋物線C：y2＝2px（p＞0）的焦點，若點P（x0，4）在拋物線C上，且.

（1）求拋物線C的方程；

（2）動直線l：x＝my+1（mR）與拋物線C相交于A，B兩點，問：在x軸上是否存在定點D（t，0）（其中t≠0），使得kAD+kBD＝0，（kAD，kBD分別為直線AD，BD的斜率）若存在，求出點D的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

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【題目】給出如下四個命題：①若“且”為假命題，則均為假命題；②命題“若，則”的否命題為“若，則”； ③“，則”的否定是“，則”；④在中，“”是“”的充要條件．其中正確的命題的個數(shù)是（ ）

A. 1B. 2C. 3D. 4

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【題目】已知橢圓的離心率為，短軸長為4.

（1）求橢圓的方程；

（2）過點作兩條直線，分別交橢圓于兩點（異于），當(dāng)直線，的斜率之和為4時，直線恒過定點，求出定點的坐標(biāo).

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【題目】已知數(shù)列{an}滿足：a1＝1，且當(dāng)n2時，

（1）若＝1，證明數(shù)列{a2n1}是等差數(shù)列；

（2）若＝2.①設(shè)，求數(shù)列{bn}的通項公式；②設(shè)，證明：對于任意的p，m N *，當(dāng)p m，都有 Cm.

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【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）．以坐標(biāo)原點為極點， 軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．

（1）分別寫出曲線和曲線的極坐標(biāo)方程；

（2）P為曲線上的任意一點，過P向曲線引兩條切線PA、PB，當(dāng)最大時，求P點的極坐標(biāo)．

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【題目】某果園種植“糖心蘋果”已有十余年，根據(jù)其種植規(guī)模與以往的種植經(jīng)驗，產(chǎn)自該果園的單個“糖心蘋果”的果徑（最大橫切面直徑，單位：）在正常環(huán)境下服從正態(tài)分布.

（1）一顧客購買了20個該果園的“糖心蘋果”，求會買到果徑小于56的概率；

（2）為了提高利潤，該果園每年投入一定的資金，對種植、采摘、包裝、宣傳等環(huán)節(jié)進(jìn)行改進(jìn).如圖是2009年至2018年，該果園每年的投資金額（單位：萬元）與年利潤增量（單位：萬元）的散點圖：

該果園為了預(yù)測2019年投資金額為20萬元時的年利潤增量，建立了關(guān)于的兩個回歸模型；

模型①：由最小二乘公式可求得與的線性回歸方程：；

模型②：由圖中樣本點的分布，可以認(rèn)為樣本點集中在曲線：的附近，對投資金額做交換，令，則，且有，，，.

（I）根據(jù)所給的統(tǒng)計量，求模型②中關(guān)于的回歸方程；

（II）根據(jù)下列表格中的數(shù)據(jù)，比較兩種模型的相關(guān)指數(shù)，并選擇擬合精度更高、更可靠的模型，預(yù)測投資金額為20萬元時的年利潤增量（結(jié)果保留兩位小數(shù)）.

回歸模型

模型①

模型②

回歸方程

102.28

36.19

附：若隨機(jī)變量，則，；樣本的最小乘估計公式為，；

相關(guān)指數(shù).

參考數(shù)據(jù)：，，，.

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【題目】已知函數(shù).

（1）當(dāng)時，求函數(shù)的極值；

（2）若函數(shù)有兩個零點，求的取值范圍，并證明.

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