Question

已知△ABC的頂點(diǎn)A（0，2），AC邊上的高線BD所在直線的方程為x-2y+2=0，∠ABC的角平分線所在的直線方程為y=0．求：
（I）直線AC的方程；
（Ⅱ）點(diǎn)C到直線AB的距離．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)垂直的兩條直線斜率的關(guān)系，算出AC的斜率k_AC==-2，結(jié)合直線方程的點(diǎn)斜率式列式，即可得到直線AC方程；
（2）由對(duì)稱的知識(shí)得A關(guān)于y=0的對(duì)稱點(diǎn)E（0，-2）在直線BC上，算出BC方程為y=-x-2．將直線AC、BC方程聯(lián)解得到C的坐標(biāo)，結(jié)合直線AB方程為x-y+2=0利用點(diǎn)到直線的距離公式加以計(jì)算，即可得到點(diǎn)C到直線AB的距離．
解答：解：（1）∵AC邊上的高BD所在直線的方程為x-2y+2=0，
∴直線AC是經(jīng)過點(diǎn)A（0，2）與BD垂直的直線，
得k_AC==-2，直線AC方程為y=-2x+2…①；
（2）∵∠ABC的角平分線所在的直線方程為y=0．
∴求得AC與的交點(diǎn)，得B（-2，0）
點(diǎn)A關(guān)于y=0的對(duì)稱點(diǎn)E（0，-2）在直線BC上
∴BC斜率k==-1，可得BC方程為y=-x-2…②
聯(lián)解①②，得C（4，-6）
∵直線AB方程為x-y+2=0
∴點(diǎn)C到直線AB的距離是d==6．
點(diǎn)評(píng)：本題給出三角形ABC的高與角平分線，求邊所在直線的方程并求點(diǎn)C到BC的距離．著重考查了直線的方程、直線的位置關(guān)系和點(diǎn)到直線的距離公式等知識(shí)，屬于中檔題．