（ 10分）已知雙曲線的左、右焦點分別為，，過點的動直線與雙曲線相交于兩點．
（I）若動點滿足（其中為坐標(biāo)原點），求點的軌跡方程；
（II）在軸上是否存在定點，使·為常數(shù)？若存在，求出點的坐標(biāo)；
若不存在，請說明理由．
解：由條件知，，設(shè)，．
解法一：（I）設(shè)，則，，
，由得
即 于是的中點坐標(biāo)為．
當(dāng)不與軸垂直時，，即．
又因為兩點在雙曲線上，所以，，兩式相減得
，即．
將代入上式，化簡得．
當(dāng)與軸垂直時，，求得，也滿足上述方程．
所以點的軌跡方程是．
（II）假設(shè)在軸上存在定點，使為常數(shù)．
當(dāng)不與軸垂直時，設(shè)直線的方程是．
代入有．
則是上述方程的兩個實根，所以，，
于是


．
因為是與無關(guān)的常數(shù)，所以，即，此時=．
當(dāng)與軸垂直時，點的坐標(biāo)可分別設(shè)為，，
此時．
故在軸上存在定點，使為常數(shù)．
略
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已知向量
m
=（2acosx，sinx），
n
=（cosx，bcosx），f（x）=
m
•
n
-
3
2
，函數(shù)f（x）的圖象在y軸上的截距為
3
2
，并且過點(
π
4
，
1
2
)
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若A是三角形的內(nèi)角，f(
A
2
-
π
6
)=
2
5
5
，求
3sinA-2cosA
sinA+cosA
的值．

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（本小題滿分12分）
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A．相離B．相交C．外切D．內(nèi)切

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