Question

已知函數(shù)，其定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012051812284985935613/SYS201205181230026093958875_ST.files/image002.png">（），設(shè)。

   （Ⅰ）試確定的取值范圍，使得函數(shù)在上為單調(diào)函數(shù)；

   （Ⅱ）試判斷的大小并說(shuō)明理由；

   （Ⅲ）求證：對(duì)于任意的,總存在，滿足,并確定這樣的的個(gè)數(shù)。

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）

（Ⅱ）

（Ⅲ）證明見(jiàn)解析。

【解析】（Ⅰ）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012051812284985935613/SYS201205181230026093958875_DA.files/image003.png">……1分

由；由，

所以在上遞增，在上遞減。……3分

要使在上為單調(diào)函數(shù)，則�！�…4分

（Ⅱ）。

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012051812284985935613/SYS201205181230026093958875_DA.files/image006.png">在上遞增,在上遞減，

所以在處取得極小值，……6分

又，所以在上的最小值為 ，……8分

從而當(dāng)時(shí)，，即�！�…9分

（Ⅲ）證明：因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012051812284985935613/SYS201205181230026093958875_DA.files/image018.png">，所以，即為,

令，

從而問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明方程=0在上有解，

并討論解的個(gè)數(shù)                                ……10分

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012051812284985935613/SYS201205181230026093958875_DA.files/image023.png">，

，所以

①當(dāng)時(shí)，，

所以在上有解，且只有一解；……12分

②當(dāng)時(shí)，，但由于，

所以在上有解，且有兩解。……13分

③當(dāng)時(shí)，，

所以在上有且只有一解；

當(dāng)時(shí)，，

所以在上也有且只有一解。……14分

綜上所述，對(duì)于任意的，總存在，滿足，

且當(dāng)時(shí)，有唯一的適合題意；

當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)適合題意。              ……15分

（說(shuō)明:第（Ⅱ）題也可以令，，

然后分情況證明在其值域內(nèi)，

并討論直線與函數(shù)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)即可得到相應(yīng)的的個(gè)數(shù)）