Question

已知四棱錐中，平面，底面是邊長(zhǎng)為的菱形，，．

（Ⅰ）求證：平面平面；

（Ⅱ）設(shè)與交于點(diǎn)，為中點(diǎn)，若二面角的正切值為，求的值．

Answer 1

（Ⅰ）詳見(jiàn)解析；（Ⅱ）

【解析】

試題分析：（Ⅰ）要證平面平面，只要證明BD⊥平面PAC 即可.

（Ⅱ）思路一：過(guò)O作OH⊥PM交PM于H，連HD，首先證明∠OHD為O-PM-D的平面角，用 表示即可.

思路二：如圖,以為原點(diǎn),所在直線為軸,軸建立空間直角坐標(biāo)系，

試題解析：（Ⅰ）因?yàn)镻A⊥平面ABCD，所以PA⊥BD 2分

又ABCD為菱形，所以AC⊥BD,所以BD⊥平面PAC 4分

從而平面PBD⊥平面PAC． 6分

（Ⅱ）方法1． 過(guò)O作OH⊥PM交PM于H，連HD

因?yàn)镈O⊥平面PAC，可以推出DH⊥PM,所以∠OHD為O-PM-D的平面角 8分

又，且 10分

從而 11分

所以，即． 12分

法二：如圖,以為原點(diǎn),所在直線為軸,軸建立空間直角坐標(biāo)系，然后利用空間向量的數(shù)量積求出平面PMD的法向量 ，由向量與向量的夾角列方程求出的值.

,, 8分

從而 9分

因?yàn)锽D⊥平面PAC,所以平面PMO的一個(gè)法向量為． 10分

設(shè)平面PMD的法向量為,由得

取，即 11分

設(shè)與的夾角為，則二面角大小與相等

從而，得

從而，即． 12分

考點(diǎn)：查空間直線與平面的位置關(guān)系、空間向量在立體幾何中的應(yīng)用.